Matemática

ciudades

Distancia entre dos ciudades

Si dos ciudades se encuentran sobre un mismo meridiano (circunferencia máxima que pasa por los polos) podemos encontrar la distancia entre ellas si conocemos la latitud de ambas.

Ejemplo:

Queremos encontrar la distancia entre:

Necochea 38° 34′ latitud sur.

Escobar 34° 20′ latitud sur

Conociendo el radio aproximado de la Tierra.

La latitud es el ángulo que forma el ecuador con cualquier punto de la Tierra.

ciudades

Primeros debemos encontrar el ángulo entre las dos ciudades.

\theta = 4° 14′

Expresamos dicho ángulo en radianes.

0,06982

Calculamos el arco de circunferencia a partir de:

s= \theta . r

El radio medio de la Tierra aproximadamente es de 6371 Km.

s= 0,06982 . 6371

s = 444,78 Km

 

 

distancia

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Construcciones con regla y compás

Construir un triángulo ABC, conociendo:

  • El lado BC
  • El ángulo ABC
  • La altura NB


La altura NB

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Construcciones con regla y compás

Construir un triángulo rectángulo dados los dos catetos.

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Ejercicio 2.1 – Geometría Métrica

Dados dos puntos O y Q en un plano α, existen en el plano α un número indeterminado de puntos P que satisfacen la congruencia OQ = OP.

Demostración:

Consideremos en el plano α una recta r que no pase por el punto O.

Elijamos un punto A que la recta y tracemos la semirrecta OA, por el axioma de congruencia de segmentos, existirá un único punto P_A en la semirrecta tal que:

OQ=OP_A

Como la recta r tiene infinitos puntos, podremos encontrar infinitos puntos congruentes con el segmento OQ.

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teoremaceva01

Teorema de Ceva

En todo triángulo ABC, los segmentos AD, BE y EF se intersectan en un único punto, si y sólo si:

\frac{AR}{RB}.\frac{BP}{PC}.\frac{CQ}{QA}=1

teoremaceva01

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Elementos de Euclides – Proposición 1.1

Es posible construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.


Sea AB el segmento dado.

Construimos la circunferencia de centro A y radio AB.

Construimos la circunferencia de centro B y radio AB.

Las circunferencias tienen dos puntos de intersección, marcamos de un lado uno de ellos y lo llamamos C.

Construimos los segmentos AC y BC.

Como A es centro de una circunferencia AB = AC.

Como B es centro de una circunferencia AB = BC.

Como cosas iguales a otra, son iguales entre sí, tenemos que AB = BC = AC.

En conclusión el triángulo ABC es equilátero.

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OMA – Intercolegial 2012 – Problema 3

Sea ABCD un rectángulo con AB = 12 y AD = 5. Se  traza por D una perpendicular a la diagonal BD que corta a la prolongación de BA  en P y a la prolongación de BC en Q. Calcular la medida de PQ.

Solución

Empezamos esbozando un gráfico, ¿y después?

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OMA – Intercolegial 2012 – Problema 2

Sea S=5+5^2+5^3+...+5^{2012} la suma de todas las  potencias de 5, desde 5 hasta 5^{2012}. Calcular el resto de  dividir S por 8.

Solución:

¿Y ahora que hago?

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OMA – Intercolegial 2012 – Problema 1

Se tienen tres cubos rojos iguales entre sí y  tres cubos verdes, iguales entre sí y más pequeños que los cubos rojos. El  volumen total de los seis cubos es igual a 840 cm^3. Si se hace una torre con los seis cubos la altura es de 30 cm. Hallar las dimensiones de los cubos sabiendo que las longitudes de sus aristas son todos números enteros.

Solución

x: arista de los cubos rojos.

y: arista de los cubos verdes

¿Cómo seguir?

 

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Propiedades de los límites

Algunas propiedades de los límites:

  • Sea a_n una sucesión tal que
    lim_{n \to \infty} {a_n} = l_1
    y
    lim_{n \to \infty} {a_n} = l_2
    donde l_1 y l_2 son números reales. Entonces:
    l_1=l_2
  • Toda sucesión convergente es acotada.
  • Sea a_n una sucesión convergente con límite l.
    a) Si l>b para cierto b \in R, entonces existe n_0 \in N tal que, para n \geq, es a_n>b.
    b) Si l<b para cierto b \in R, entonces existe n_0 \in N tal que, para n \geq, es a_n<b.
  • Sea a_n una sucesión convergente con límite l.
    a) Si a_n > b, para todo n \geq n_0, entonces l \geq b.
    a) Si a_n < b, para todo n \geq n_0, entonces l \leq b.
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes con el mismo límite l y sea c_n una sucesión tal que:
    a_n \leq c_n \leq b_n para todo n \in N
    Entonces c_n es convergente y su límite es l.
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes.
    Entonces:
    \lim_{n \to \infty} {a_n + b_n}=\lim_{n \to \infty} {a_n} + \lim_{n \to \infty} {b_n}
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes.
    Entonces:
    \lim_{n \to \infty} {a_n . b_n}=\lim_{n \to \infty} {a_n} . \lim_{n \to \infty} {b_n}
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes.
    Entonces:
    \lim_{n \to \infty} {a_n \slash b_n}=\lim_{n \to \infty} {a_n} \slash \lim_{n \to \infty} {b_n}

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