Análisis Matemático

Propiedades de los límites

Algunas propiedades de los límites:

  • Sea a_n una sucesión tal que
    lim_{n \to \infty} {a_n} = l_1
    y
    lim_{n \to \infty} {a_n} = l_2
    donde l_1 y l_2 son números reales. Entonces:
    l_1=l_2
  • Toda sucesión convergente es acotada.
  • Sea a_n una sucesión convergente con límite l.
    a) Si l>b para cierto b \in R, entonces existe n_0 \in N tal que, para n \geq, es a_n>b.
    b) Si l<b para cierto b \in R, entonces existe n_0 \in N tal que, para n \geq, es a_n<b.
  • Sea a_n una sucesión convergente con límite l.
    a) Si a_n > b, para todo n \geq n_0, entonces l \geq b.
    a) Si a_n < b, para todo n \geq n_0, entonces l \leq b.
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes con el mismo límite l y sea c_n una sucesión tal que:
    a_n \leq c_n \leq b_n para todo n \in N
    Entonces c_n es convergente y su límite es l.
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes.
    Entonces:
    \lim_{n \to \infty} {a_n + b_n}=\lim_{n \to \infty} {a_n} + \lim_{n \to \infty} {b_n}
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes.
    Entonces:
    \lim_{n \to \infty} {a_n . b_n}=\lim_{n \to \infty} {a_n} . \lim_{n \to \infty} {b_n}
  • Sean a_n y b_n dos sucesiones convergentes.
    Entonces:
    \lim_{n \to \infty} {a_n \slash b_n}=\lim_{n \to \infty} {a_n} \slash \lim_{n \to \infty} {b_n}

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Límite de una sucesión

Se dice que una sucesión (a_n)_{n \in N} tiene limite l, o converge a l, en símbolos:
\lim_{n \to \infty} {a_n}=l

si se cumple la siguiente propiedad:

Cualquiera sea el número real \epsilon > 0, hay un número natural n_0 tal que, para cada n \geq n_0, se verifica que |a_n-l|<\epsilon.

Ejemplo:

Consideremos la sucesión dada por a_n=\frac{1}{n}.

1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},....

Afirmamos que:

\lim_{n \to \infty} {\frac{1}{n}}=0

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Sucesión

Una sucesión (de números reales) es un función que consiste en asignarle a cada número natural n, un numero real que indicamos a_n.

1\to a_1

2 \to a_2

3 \to a_3

...

n \to a_n

...

De ésta manera una sucesión queda de la forma:

a_1,a_2,a_3,...,a_n,...

Ejemplo:

A cada número natural n le podemos asignar su cuadrado n^2.

tenemos la sucesión dada por:

a_n=n^2

o sea:

1,4,9,16,25, 36,...,n^2,...

Una sucesión (de números reales) es una función a:N \to R donde a_n=a(n).

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Series

Sea

u_1,u_2,u_3,...

una sucesión.

Formamos una nueva sucesión

S_1,S_2,S_3,...

con

S_1=u_1
S_2=u_1+u_2

S_3=u_1+u_2+u_3
...
S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n

...

Al término S_n lo llamaremos suma parcial n-ésima.

Se llama serie a la sucesión

S_1,S_2,S_3,...

y se simboliza por

u_1+u_2+u_3+...=\sum_{i=1}^\infty {u_n}

Es decir, una serie, es la sucesión de suma parciales de una sucesión.

Si existe

\lim_{x \to\infty}{S_n}=S

la llamamos serie convergente, y S es su suma.

En caso contrario se llama serie divergente.

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