Matemática

Operaciones con conjuntos

Unión

La unión de dos conjuntos A y B, escrita A \cup B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B.

En este caso, el “o” matemático indica que un elemento puedo pertenecer a un conjunto, al otro o a ambos.

En simbolos:

A \cup B = \{x \slash x \in A \vee x \in B\}

Observaciones:

Para cualquier conjunto A, está claro que A \cup A = A
Si B es un subconjunto de A, A \cup B = A

Ejemplo:

A=\{a,b,c\}

B=\{p,q,a\}
A \cup B = \{a,b,c,p,q\}

Intersección

La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

En símbolos:

A \cap B = \{x \slash x \in A \wedge x \in B\}

Observaciones:

Para cualquier conjunto A, está claro que A \cap A = A
Si B es un subconjunto de A, A \cap B = B

Ejemplo:

A=\{a,b,c\}

B=\{p,q,a\}
A \cap B = \{a\}

Conjuntos Disjuntos

Dos conjuntos se dicen disjuntos si su intersección es vacía.

Proposición

Para tres conjuntos cualesquiera A, B y C, tenemos:

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

Diferencia de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, llamamos conjunto diferencia A-B al conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen B.

En símbolos:

A-B=\{x \in A \slash x \notin B \}

Observaciones:

Cualquiera sea el conjunto B,

A=(A \cap B) \cup (A-B)

Además,

B \cap (A-B) = \O

 

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Teoría de Conjuntos

Conjunto

Podemos considerar un conjunto como un concepto primitivo. Todos entendemos que es un conjunto, la idea más usada es suponer que un conjunto es una colección de objetos.

Pertenencia

Para indicar que un elemento a es parte de un conjunto A, escribiremos:

a \in A

De igual manera si no pertenece:

a \notin A

Subconjunto

El conjunto B será un subconjunto de A, si todo elemento de B es un elemento de A.

Lo escribiremos:

B \subset A

En  símbolos:

B \subset A \Leftrightarrow (a \in B \Rightarrow a \in A)

También podemos que decir que A contiene a B en ese lo denotamos como:

A \supset B

Igualdad de conjuntos

Diremos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, es decir, que todo elemento de un conjunto debe estar en el otro y viceversa. Lo de denotaremos:

A=B

En símbolos:

A=B \Leftrightarrow (A \subset B \wedge B \subset A)

Subconjunto propio

Un subconjunto B de A se llamará subconjunto propio de A, si no es igual a A.

B \in A \wedge A \neq B

Conjunto vacío

El conjunto vació es el conjunto que no tiene elementos. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier subconjunto.

\O = \{\}

Notación

Dado un conjunto B:

A=\{a \in B \slash P(a)\}

“El conjunto A está formado por todos los elementos de B que cumplen con la propiedad P”.

Ejemplo

A=\{1,4,7,10\}

puede escribirse:

A=\{x \in \mathbb{Z} \slash x=3n+1, n=0,1,2,3\}

 

 

 

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curva_parametrica_01

Curva paramétrica

Supongamos que queremos representar en el plano curvas como las que muestran las siguientes imágenes.

Vemos que no podríamos representarlas como funciones, dado que no cumplirían con la unicidad requerida en la definición de función.

Para solucionar ese problema vamos a definir las coordenadas (x,y) de los puntos de la curvas como funciones dependientes de una tercera variable, t, que llamaremos parámetro.

(x,y)=(x(t),y(t))

 

 

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Astroide

Astroide

Ecuación:

x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}

Ecuación Paramétrica

x=a.Cos^{\frac{2}{3}}(t); y=a.Sin^{\frac{2}{3}}(t)

Su nombre proviene del griego “estrella”.

Es una curva plana de cuatro vértices.

 

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Olimpíada Matemática Argentina – Nivel 3 – Problema 3

Nivel 3

Intercolegial (1995)

Problema 3

¿Se pueden distribuir los números del 1 al 16 en las casillas del tablero de modo que la suma de los números ubicados en tres casillas consecutivas sea siempre menor o igual que 24?

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Olimpíada Matemática Argentina – Nivel 3 – Problema 2

Nivel 3

Intercolegial (995)

Problema 2

Hallar todos los números enteros x que satisfacen

2^x.(4-x)=2x+4

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Olimpíada Matemática Argentina – Nivel 2 – Problema 3

Nivel 2

Intercolegial (1995)

Problema 3

En una carrera de 50 metros, si Daniel le da 4 metros de ventaja a Gerardo, o sea Gerardo recorre 46 metros, llegan juntos a la meta. En una carrera de 200 metros, si Gerardo le da 15 metros de ventaja a Marcelo, llegan juntos a la meta. ¿Cuántos metros de ventaja deberá darle Daniel a Marcelo para llegar juntos a la meta en una carrera de 1000 metros?
ACLARACION: Los tres atletas corren a velocidades constantes.

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