Matemática

Olimpíada Matemática Argentina – Nivel 2 – Problema 2

Nivel 2

Intercolegial (1995)

Problema 2

Se escribe con lápiz azul la lista de los múltiplos de 9, empezando con 9. Al lado de cada número azul se escribe con lápiz rojo la suma de sus dígitos. ¿Qué aparece antes en la lista roja, el número 45 o una seguidilla de por lo menos cinco números 36?

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Olimpíada Matemática Argentina – Nivel 1 – Problema 3

Primer Nivel

Intercolegial (1995)

Problema 3

Sea ABCD un cuadrilátero tal que <C=76 y <D=128. Se trazan las bisectrices de <A y de <B, que se cortan en P. Hallar <APB.

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Olimpíada Matemática Argentina – Nivel 1 – Problema 2

Primer Nivel

Intercolegial (1995)

Problema 2

Los nueve números del 1 al 9 están escritos uno en cada ficha. Con las nueve fichas hay que formar tres números de tres dígitos cada uno de modo que la suma de los tres números así obtenidos tenga el máximo valor posible. ¿De cuántas maneras diferentes pueden disponerse las fichas?

 

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Consecuencias de los axiomas de congruencia

Supongamos que el segmento AB es congruente con el segmento A’B’. Dado que, según el axioma IV, 1, El segmento AB es congruente con sí mismo, se desprende del Axioma IV, 2, que A’B’ es congruente con AB, es decir, si AB ≡ A’B' , a continuación, A’B' ≡ AB. Decimos, entonces, que los dos segmentos son congruentes entre sí.

Sean A, B, C, D, … , K, L y A’, B’, C’, D’, … , K’, L’ dos series de puntos en las líneas rectas a y a’, respectivamente, donde todos los segmentos correspondientes AB y A’B', AC y A’C', BC y B’C', … , KL y K’L’ son respectivamente congruentes, entonces las dos series de puntos se dicen que son congruentes entre sí. A y A’, B y B’, … L y L’ son llamados puntos correspondientes de las dos series de puntos congruentes.

De los axiomas lineades IV, 1-3, podemos deducir fácilmente los siguientes teoremas:

Teorema 9:

Si la primera de las dos series de puntos congruentes A, B, C, D, … , K, L y A’, B’, C’, D’, … , K’, L’ está dispuesta de tal manera que B se encuentra entre A y C, D, … , K, L y C entre A, B, y D, … , K, L, etc., entonces los puntos A’, B’, C’, D’, … , K’, L’ de la segunda serie están dispuestos de forma similar, es decir que, B’ se encuentra entre A’ y C’, D’, … , K’, L’, y C’ se encuentra entre A’, B’, y D’, … , K’, L’, etc.

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Los postulados

Después de las definiciones vienen los siguientes cinco postulados:

  1. Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una recta.
  2. Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.
  3. Con cualquier centro y cualquier radio se puede trazar una circunferencia.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Si una recta, al cortar forma de un mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.

Geometría Proyectiva – Santaló

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los_elementos

1.2. Los elementos

Los Elementos de Euclides forman un conjunto de 13 libros dedicados a los fundamentos y al desarrollo, lógico y sistemático, de la geometría. Es la obra cumbre de la matemática griega. Durante siglos ha sido el texto obligado de geometría en todas las escuelas. Es el primer libro de fundamentación geométrica, y su estilo y ordenación fueron los moldes a los que se ajustaron todas las obras posteriores de matemática.

No se trata, en absoluto, de un manual práctico o de un conjunto de reglas útiles que puedan servir para calcular o medir, al estilo de los documentos egipcios o babilónicos de épocas anteriores. Se trata de una estructura lógica que responde exactamente al concepto de Platón de la geometría: “Como si se tratara de alguna finalidad práctica, loe geómetras hablan siempre de cuadrar, prolongar, agregar, cuando en verdad la ciencia se cultiva con el único fin de conocer.”

Las bases de que parte Euclides para edificar su geometría son las definiciones, los postulados y las nociones comunes.

Las definiciones son veintitrés, al comienzo, aunque luego en el texto se van introduciendo otras más, hasta un total de ciento dieciocho. Con ellas se intenta dar nombre a los elementos en los cuales se va a construir la geometría. Citaremos algunas de ejemplo.

Punto es lo que no tiene partes.

Línea es una longitud sin anchura.

Recta es aquella línea que yace igualmente respecto de todos sus puntos.

Superficie es lo que tiene únicamente longitud y anchura.

Plano es la superficie igualmente situada respecto de sus rectas.

Ángulo es la inclinación entre dos líneas de un plano, las cuales se encuentran y no están en línea recta. Si las dos líneas que contienen el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.

Rectas perpendiculares: si una recta forma con otra ángulos adyacentes iguales, cada uno de estos ángulos es recto y las rectas se llaman perpendiculares.

Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano, no se encuentran al prolongarlas indefinidamente en ambas direcciones.

No es nuestro objeto en poner de manifiesto los inconvenientes y la inconsistencia de las primeras definiciones anteriores. Responden al afán, que la autoridad de Euclides hizo perdurar durante siglos, de definirlo todo, incluso las nociones primitivas de las cuales hay que partir en cualquier construcción lógica y que no pueden definirse en términos más simples. En las construcciones axiomáticas más modernas, el punto y la recta, por ejemplo, se introducen como elementos que satisfacen ciertos axiomas, es decir, se definen por sus propiedades.

Geometría Proyectiva – Santaló

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euclides

1.1 Euclides

Poco se sabe con certeza de la vida de Euclides. Según el testimonio de Proclo, un matemático que vivió e Bizancio entre los años 410 y 485 de nuestra era, “Euclides floreció durante el reinado de Ptolomeo I [que murió en 283 a.C.], pues es citado por Arquímedes que nació hacia fines del reinado de este soberano. Además, se cuenta que un día Ptolomeo preguntó a Euclides si para aprender geometría existía un camino más breve que el de los Elementos, obteniendo la respuesta de que en geometría no existe camino real. Euclides es, pues, posterior a Platón [428-348 a.C.] y a sus discípulos [como Aristóteles, 384-322 a.C.], pero anterior a Eratóstenes [aproximadamente 280-192 a.C.] y a Arquímedes [287-212 a.C.].”

Debido a estas noticias es costumbre ubicar a Euclides como habiendo vivido alrededor del año 300 antes de nuestra era. Sin embargo, teniendo en cuenta que el comentario de Proclo fue escrito más de setecientos años después, y que se carece de referencias más directas, se comprende que algunos historiadores pongan en duda tal fecha y aun la existencia misma de Euclides, atribuyendo sus obras ya sea a otro matemático griego, o a la labor conjunta de una escuela que habría pretendido compendiar todos los conocimientos de la época.

Prescindiendo de la persona, real o hipotética, lo que interesa para la historia de la matemática es la obra, y está, aunque a Euclides se le atribuyen algunos escritos más, se reduce fundamentalmente a los famosos Elementos.

Geometría Proyectiva – Santaló

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Olimpíada Matemática – Nivel 3 – Problema 1

Tercer Nivel

Intercolegial 1995

Problema 1

Sea ABCD un rectángulo y A’, B’, C’ y D’ en las prolongaciones de sus lados tales que

AA´= k.AD

BB´= k.AB

CC´= k.BC

DD´= k.CD

Hallar k de modo que el área del cuadrilátero A´B´C´D´sea 25 veces el área del rectángulo ABCD.

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