Variable compleja

forma_polar

Forma polar de un número complejo

Dijimos que un número complejo se representa gráficamente en un plano complejo mediante un punto.

Si z=a+bi

el punto en cuestión es (a,b).

forma_polar

Con un poco de trigonometría tenemos:

r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}

a=r.Cos(\phi)

b=r.Sen(\phi)

r recibe el nombre de valor absoluto o módulo de z, |z|.

\phi es la amplitud o argumento de z, Arg(z), es el ángulo que forma el semieje positivo de las x, con el segmento que une el origen con el punto (a,b).

Se deduce que:

z=a+bi=r.(Cos(\phi)+i.Sen(\phi))

está expresión es llamada forma polar del número complejo y r  y \phi son sus coordenadas polares.

Para cualquier número complejo z \neq 0 corresponde solamente un valor de \phi en 0\leq \phi \leq 2\pi. No obstante, cualquier otro intervalo de longitud 2\pi, por ejemplo -\pi \leq \phi \leq \pi, se puede emplear. Cualquier elección tomada anticipadamente, se llama la parte principal y el valor de \phi se llama su valor principal.

 

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Complejo conjugado

Dado un número complejo

z=a+bi

Se llama complejo conjugado al número

 \overline{z}=a-bi

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Números Complejos

SI tenemos la ecuación

x^2+1=0

no hay números reales que sean solución, dado que cualquier número real elevado al cuadrado es positivo o cero.

Para que podamos resolver este tipo de ecuaciones fue necesario introducir los números complejos.

Un número complejo es una expresión de la forma

a+bi

donde a,b \in R

i recibe el nombre de unidad imaginaria y tiene la siguiente propiedad i^2=-1

Si z=a+bi

a recibe el nombre de parte real de z, Re(z).

b recibe el nombre de parte imaginaria de z, Im(z).

Dos números complejos a+bi y c+di son iguales, si y sólo si a=c y b=d.

Si a=0 el número complejo 0+bi recibe el nombre de imaginario puro.

Si b=0 el número complejo a+0i representa al número real a.

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plano_complejo_03

Representación gráfica de complejos – 006

Si z_1 y z_2 son dos números complejos (vectores) como en la figura, construir gráficamente:

  • 3z_1-2z_2
  • \frac{1}{2}z_2+\frac{5}{3}z_1

plano_complejo_03

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Representación gráfica de complejos – 005

Efectuar las operaciones indicadas en forma analítica y gráfica.

a) (3+4i) + (5+2i) =

b) (6-2i) – (2-5i) =

c) (-3+5i) + (4+2i) + (5-3i) + (-4-6i) =

 

 

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Valor absoluto de un número complejo

Dado un número complejo

 a+bi

definimos el valor absoluto del número complejo como

|a+bi|=+\sqrt{a^2+b^2}

Ejemplo:

|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

Si z_1,z_2,z_3,...,z_n son números complejos, entonces valen las siguientes propiedades:

  • |z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|
  • |z_1.z_2....z_n|=|z_1|.|z_2|.....|z_n|
  • \displaystyle |\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|} si z_2 \neq 0
  • |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|
  • |z_1+z_2+...+z_n1 \leq |z_1|+|z_2|+...+|z_n|
  • |z_1+z_2| \geq |z_1|-|z_2|
  • |z_1-z_2| \geq |z_1|-|z_2|

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Operaciones básicas con complejos – 004

Probar

a) \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}

b) |z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|

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Operaciones básicas con complejos – 003

Encontrar números reales x e y tales que

3x+2iy-ix+5y=7+5i

 

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Operaciones básicas con complejos – 002

Si
z_1=2+i
z_2=3-2i
z_3=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i
hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones:

a) |3z_1-4z_2|=

b) z_1^3-3z_1^2+4z1-8=

c) (\overline{z_3})^4=

d) \displaystyle |\frac{2z_2+z_1-5-i}{2z_1-z_2+3-i}|^2=

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