Álgebra Lineal

Álgebra Lineal

Apuntes – Álgebra Lineal

16 may

Publicado por roberprof en 6to Año

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Apuntes teóricos en pdf.

Matrices y determinantes

Sistemas de ecuaciones lineales

Fuente

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales

25 sep

Publicado por roberprof en Álgebra Lineal

1 comentario

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar de acuerdo a número de soluciones en:

  • Sistemas compatibles determinados
    La solución es única
    Ejemplo:
    2.x=4
  • Sistemas compatibles indeterminados
    La soluciones son infinitas
    Ejemplo
    0.x=0
  • Sistemas incompatibles
    No hay solución
    Ejemplo
    0.x=4

Si estamos usando el método de determinantes la última operación para averiguar el valor de incógnita es una división, como clasificar el sistema en este caso:

  • Sistema compatible determinado
    x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{4}{2}=2
  • Sistema compatible indeterminado
    x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{0}{0}=\infty
  • Sistema incompatible
    x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{4}{0}=Imposible
, ,

Sistemas para resolver

24 sep

Publicado por roberprof en Álgebra Lineal

19 comentarios

Resuelvan los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando algunos de los métodos estudiados:
  1. \left\{\begin{array}{ccc}2x+5y+3z=10\\-2x-3y+2z=-3\\5x+3y-4z=4\end{array}\right.
    -
  2. \left\{\begin{array}{ccc}2x+5y+3z=6\\-2x-3y+2z=-9\\5x+3y-4z=17\end{array}\right.
    -
  3. \left\{\begin{array}{ccc}3x+4y-5z=6\\-2x-2y+5z=-1\\5x+4y+7z=20\end{array}\right.
    -
  4. \left\{\begin{array}{ccc}3x+2y-z=0\\5x-7y+6z=5\\3x-2y+4z=6\end{array}\right.
    -
  5. \left\{\begin{array}{ccc}x+2y+z=5\\3x-z+5z=12\\2x+4y+2z=8\end{array}\right.
    -
  6. \left\{\begin{array}{ccc}-2a+7b-3c=8\\2a-3b+11c=-12\\-5a+2b-4c=1\end{array}\right.
Clasifiquen los siguientes sistemas:
  1. \left\{\begin{array}{ccc}3x+y-2z=0\\-9x-3y+3z=6\\3x+y-z=2\end{array}\right.
    -
  2. \left\{\begin{array}{ccc}x+y+z=1\\2x-3y+z=13\\2x+2y+2z=3\end{array}\right.
    -
  3. \left\{\begin{array}{ccc}a+b-2c=2\\-a+2b+3c=5\\a+b-2c=3\end{array}\right.
    -
  4. \left\{\begin{array}{ccc}a+b-2c=-2\\-a+2b+3c=3\\a+3b+c=1\end{array}\right.
Para repasar, resuelvan los sistemas y escriban sus soluciones en los comentarios.
deter

Determinante 3×3

24 sep

Publicado por roberprof en Álgebra Lineal

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¿Cómo hallar el determinante de una matriz de orden 3×3?

Es decir, como hallar el determinante de una matriz de tres filas por tres columnas.

\left\vert\begin{array}{ccc}a & b &c\\d & e & f\\g & h & j\end{array}\right\vert

Para ello debemos hacer seis multiplicaciones y sumarlas o restarlas de acuerdo al siguiente esquema.

\left\vert\begin{array}{ccc}a & b &c\\d & e & f\\g & h & i\end{array}\right\vert=a.e.i+d.h.c+b.f.g-c.e.g-h.f.a-b.d.i

Una ayuda para acordarse como armar las multiplicaciones puede ser la siguiente, las tres multiplicaciones que suma pueden obtener de las diagonales de cada color:

y las tres que restan de las siguientes diagonales:

Ejemplo:

\left\vert\begin{array}{ccc}4 & 2 &2\\-1 & 3 &5f\\1 & -1 & -2\end{array}\right\vert=4.3.(-2)+d.h.c+b.f.g-c.e.g-h.f.a-b.d.i

Pueden ver el siguiente video explicativo. Video

Sistemas de ecuaciones

24 sep

Publicado por roberprof en Álgebra Lineal

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Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas.

Ejemplos:

\left\{\begin{array}{cc}<br /> 2x+3y = 5\\<br /> x-y = 5<br /> \end{array}\right.

\left\{\begin{array}{ccc}<br /> a+b+2c = 5\\<br /> 2a-b+3c=3\\<br /> a+2b+3c=8<br /> \end{array}\right.

El número de ecuaciones y el de incógnitas no tienen que ser iguales, aunque en esta ocasión analizaremos sistemas en los que dichos números coinciden.

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar los valores de las incógnitas que son soluciones de cada una de las ecuaciones del sistema.

En el primer ejemplo vemos que las incógnitas son x e y.

La solución de ese sistema es x = 4 e y = -1.

Verifiquemos que sea cierto.

\left\{\begin{array}{cc}<br /> 2.4+3.(-1)=8-3 = 5\\<br /> 4-(-1)=4+1 = 5<br /> \end{array}\right.

Existen muchos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, entre ellos podemos nombrar:

Método de sustitución

Método de igualación

Método de reducción

Método de determinantes

Método de reducción de Gauss

Método del pivote

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