Álgebra Lineal

Sistemas de ecuaciones – Ejercitación

21 Oct

Publicado por roberprof en 6to Año

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1 – Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución y por determinantes.

$\left\{\begin{array}{c}x+2y=4\\3x=4y-3\end{array}\right.$

2 – Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss, por determinantes y por el método del pivote.

$\left\{\begin{array}{ccc}x+2y-z&=&-3\\4x-y+z&=&25\\x-y+3z&=&14\end{array}\right.$

3 – Resuelvan el siguiente sistema por el método del pivote o el método de Gauss.

$\left\{\begin{array}{ccc}x+2y-3z+w&=&-9\\2x+y+z-w&=&8\\-x+y+2z+w&=&-4\\x-3y-z+2w&=&9\end{array}\right.$

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determinantes, Ecuaciones, Sistemas de ecuaciones

Método de determinantes

19 Oct

Publicado por roberprof en 6to Año

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Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas $(x,y)$

$\left\{\begin{array}{c}ax+by=r\\cx+dy=s\end{array}\right.$

Para buscar la solución del mismo podemos realizar operaciones permitidas en cada ecuación y entre ellas, para tratar de eliminar una de las incógnitas. Empecemos eliminando y.

$adx+bdy=rd$

$bcx+bdy=bs$

restando ambas ecuaciones tenemos

$(ad-bc)x=rd-bs$

$\displaystyle x=\frac{rd-bs}{ad-bc}$

Ahora eliminemos la variable x

$acx+bcy=br$

$acx+ady=as$

restando ambas ecuaciones

$(bc-ad)y=rb-as$

$\displaystyle x=\frac{br-as}{bc-ad}$

Multiplicando por -1 numerador y denominador

$\displaystyle x=\frac{as-br}{ad-bc}$

Llamando determinante a la siguiente expresión

$\Delta=\left\vert\begin{array}{cc}x_1 & x_2 \\x_3 & x_4\end{array}\right\vert=x_1.x_4-x_2.x_3$

tenemos que:

$x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{\left\vert\begin{array}{cc}r & b \\s& d\end{array}\right\vert}{\left\vert\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right\vert}=\frac{r.d-b.s}{a.d-b.c}$

[latex]y=\frac{\Delta y}{\Delta}=\frac{\left\vert\begin{array}{cc}a & r \\c& s\end{array}\right\vert}{\left\vert\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right\vert}=\frac{a.s-r.c}{a.d-b.c}[/latex]

Ejemplo:

$\left\{\begin{array}{ccc}2x+y&=&1\\x-y&=&2\end{array}\right.$

Determinante principal

$\Delta=\left\vert\begin{array}{cc}2&1\\1&-1\end{array}\right\vert=2.(-1)-1.1=-3$

Determinante de x

$\Delta x=\left\vert\begin{array}{cc}1&1\\2&-1\end{array}\right\vert=1.(-1)-1.2=-3$

Determinante de y

$\Delta y=\left\vert\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right\vert=2.2-1.1=3$

Finalmente

$\displaystyle x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{-3}{-3}=1$

$\displaystyle y=\frac{\Delta y}{\Delta}=\frac{3}{-3}=-1$

$\left\{

\begin{array}{ccc}

x_1 & x_2 & \ldots \\

x_3 & x_4 & \ldots \\

\vdots & \vdots & \ddots

\end{array}

\right.$

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Solución de una ecuación lineal

18 Oct

Publicado por roberprof en 6to Año

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Decimos que el conjunto de números reales

$b_1,b_2,\dots,b_n$

es una solución de la ecuación

$\displaystyle \sum_{i=1}^n{a_i.x_i}=c$

si se verifica que

$\displaystyle \sum_{i=1}^n{a_i.b_i}=c$

Ejemplo:

Una solución de la ecuación $2x+3y-z=1$

$x=1$ $y=-1$ $z=-2$

dado que

$2.(1)+3.(-1)-(-2)=1$

también escribimos la solución como un conjunto ordenado de números $(1,-1,-2)$

Observemos las siguientes ecuaciones:

$\boxed{2x=2}$

Tiene solución $x=1$ . En este caso se dice que el sistema formado por la ecuación es compatible determinado. Esto sucede cuando el conjunto solución es finito, es decir, que existe una cantidad determinada de soluciones.

$\boxed{0x=0}$

En esta ecuación cualquier valor de x, hace que se verifique la igualdad. Existen infinitas soluciones, se dice que el sistema es compatible indeterminado. Existe solución, el único problema es que no pueden determinarse, porque son infinitas.