Análisis Matemático

Repaso de Análisis Matemático

24 abr

Publicado por roberprof en 6to Año

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1) Dada la función:

$f(x)=\frac{1}{x^2}$

a) Representen gráficamente f(x).

b) Analicen completamente la función f(x).

2) Encuentren:

$Lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x-3}$

3) Hallen la ecuación de la recta tangente a la función:

$g(x)=x^5-20$

en el punto x=-2.

4) Sabiendo que:

$h'(x)=x^2-2x$

a) Encuentren los puntos críticos de la función h(x).

b) ¿Existe algún máximo o algún mínimo local?

5) Analicen completamente la función:

$j(x)=x^4-3x^3-24x^2+80x$

6) ¿Qué información brinda la derivada de una función en un punto?

7) ¿Qué información brindan las raíces de la derivada de una función?

8) ¿Qué información brindan las raíces de la segunda derivada de una función?

9) Dada la función $f(x)=\sqrt{x+2}$
a) Encuentren la ecuación de la recta secante que pasa por los puntos x=2 y x=4.

b) Encuentre la expresión por definición de la derivada en x=2.

c) Encuentren la ecuación de la recta tangente en x=2

Problemas de la velocidad y la tangente 1

27 mar

Publicado por roberprof en 6to Año

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Problema 1

Un tanque contiene 1000 galones de agua que salen por el fondo del tanque en media hora. Los valores de la tabla muestran el volumen V de agua restante en el tanque (en galones) al cabo de t minutos.

t (min)	5	10	15	20	25	30
V (gal)	694	444	250	111	28	0

a) Si P es el punto (15,250) en la gráfica de V hallar la pendiente de las rectas secantes PQ cuando Q es un punto en la gráfica con t=5, 10, 20, 25, 30.

b) Estimar la pendiente de la recta tangente en P como el promedio de pendiente de dos secantes.

c) Use una gráfica de la función para estimar la pendiente de la recta tangente en P (esta pendiente representa la velocidad del flujo de agua a la salida del tanque a los quince minutos).

Respuestas:

a) Tabla realizada en Excel

pendiente de PQ = $\frac{V_2-V_1}{t_2-t_1}$

Observamos como el programa no puede calcular la pendiente cuando Q coinicide con P.

La fórmula usada en la casilla C2 es:

b) Calcularemos el promedio de las pendientes en los puntos t = 10 y t = 20.

$\frac{(-38,8)+(-27,8)}{2}=-33,3$

c) Gráfica realizada en GeoGebra.

Los puntos de la tabla son los extremos de los segmentos rojos.

Límites: Ejercicios

25 mar

Publicado por roberprof en 6to Año

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1) Observen el gráfico y encuentre los límites requeridos:

a) $Lim_{x \rightarrow \infty }f(x)=$

b) $Lim_{x \rightarrow -\infty }f(x)=$

c) $Lim_{x \rightarrow -1^{+} }f(x)=$

d) $Lim_{x \rightarrow -1^{-} }f(x)=$

e) $Lim_{x \rightarrow -1 }f(x)=$

f) $f(-1)=$

2) Observen el gráfico y encuentre los límites requeridos:

a) $Lim_{x \rightarrow \infty }f(x)=$

b) $Lim_{x \rightarrow -\infty }f(x)=$

c) $Lim_{x \rightarrow -1^{+} }f(x)=$

d) $Lim_{x \rightarrow -1^{-} }f(x)=$

e) $Lim_{x \rightarrow -1 }f(x)=$

f) $Lim_{x \rightarrow +1^{+} }f(x)=$

g) $Lim_{x \rightarrow +1^{-} }f(x)=$

h) $Lim_{x \rightarrow +1 }f(x)=$

Análisis Matemático – Ejercicio 5

9 may

Publicado por roberprof en 6to Año

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Resuelvan el siguiente problema:

De una cartulina rectangular de 50 cm de ancho y 30 cm de altura quitamos cuadrados de las esquinas como lo indica la figura.

a) Encuentren la expresión que permite obtener el volumen de la caja en función de x.

Largo = 50 – 2x

Ancho = 30 – 2x

Alto = x

Volumen = Largo x Ancho x Alto

$v(x)=(50-2x).(30-2x).x$

Donde:

$0<x<15$

b) ¿Cuántos centímetros tiene que medir x para obtener el volumen máximo?

Para encontrar el valor de x que maximiza el volumen, debemos derivar la función v(x), igualarla a cero, encontrar sus raíces y analizar los puntos críticos.

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