Geometría Analítica

Suma de vectores con Geogebra

10 Mar

Publicado por roberprof en 6to Año

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Usemos el programa Geogebra para trabajar la suma de vectores.

Para sumar gráficamente los vectores, deberán: hacerlos coincidir en el origen, trazar por los extremos de cada vector una recta paralela a la dirección del otro vector, marcar el punto de intersección de las dos paralelas. Finalmente el vector suma es el que tiene por origen, el origen de los vectores y como extremo la intersección anterior.
Para sumar analíticamente los vectores, hay que sumar sus componentes.

Trabajen en la siguiente página para repasar los conceptos dados. Aquí.

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Distancia entre dos puntos

2 Mar

Publicado por roberprof en 6to Año

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Para encontrar la distancia entre dos puntos en el plano, debemos usar el teorema de Pitágoras, para ello tenemos que construir un triángulo rectángulo donde el segmento que me da la distancia entre los dos puntos sea la hipotenusa y los catetos sean verticales y horizontales respectivamente.

Ejemplo:

Supongamos que queremos hallar entre la distancia entre los puntos A=(3,2) y el punto B=(7,4).

Simbólicamente podemos escribir la distancia entre A y B como $d(A,B)$ o $\overline{AB}$ .

Observen que la longitud del cateto horizontal se halla restando las abscisas de los puntos y el cateto vertical restando las ordenadas. A partir de allí aplicamos el Teorema de Pitágoras.

$\overline{AB}^2=4^2+2^2$

$\overline{AB}^2=16+4$

$\overline{AB}=\sqrt{20}$

$\overline{AB}=4,47...$

Respondan:

¿Cuál es la distancia entre los puntos $P(-2,6)$ y $Q(0,-9)$ ?

Ahora queremos hallar una fórmula que nos permita calcular la distancia entre dos puntos.

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distancia, plano

Parábola: foco y directriz

24 Sep

Publicado por roberprof en 6to Año

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Encuentren el foco y la directriz de la parábola dada por la ecuación $y^2=-2x$ .

Recordemos la ecuación estándar de la parábola.

$y^2=-4cx$

donde el foco está dado por las coordenadas $(-c,0)$

y la directriz por la ecuación $x=c$

Igualando las ecuaciones encontramos que:

$-4cx=-2x$

$4c=2$

$c=\frac{1}{2}$

Por lo tanto:

las coordenadas del foco son $(-\frac{1}{2},0)$

y la ecuación de la directriz es $x=\frac{1}{2}$

directriz, foco, Geometría Analítica, parábola

Parábola

24 Sep

Publicado por roberprof en 6to Año

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Representen gráficamente $y^2=-2x$ .

Los puntos de la parábola no pueden tener una abscisa (coordenada x) positiva, dado que los valores de y deberían ser números complejos para satisfacer la igualdad.

Pueden realizar una tabla:

x 0 -2 -2 -4,5 -4,5
y 0 +2 -2 +3 -3

Representen los puntos y la parábola.

parábola, representación gráfica

Geometría Analítica: Ejercicios

11 Sep

Publicado por roberprof en 6to Año

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Rectas en el plano

Encuentren la ecuación de una recta que pasa por el punto (-1,-4) y por el punto de intersección de las rectas:
$-2x+5y-23=0$
y
$x=8-6t$ $y=1+t$
Dado el vector v de origen (2,1) y componentes (2,3). Dibujen 2v, 3v y -v.
¿Qué recta definen? ¿Cuál sería su ecuación?
¿Pertenece el punto P(0,3) a la recta determinanada por el vector v(-5,1) y el punto O(-3,1)?
¿Pertenece el punto P(0,3) a la recta determinanada por el vector v(-5,1) y el punto O(5,2)?
¿Cuál es la pendiente y el vector dirección de las siguientes rectas?
a) $y=2x-5$
b) $\frac{x-6}{-2}=\frac{y+1}{4}$
c) $2x+3y-2=0$
¿Cuál de las siguientes rectas pasa por el punto (-1,4)?
a) x+y-3=0
b) y=4x-1
c) x+y=3
d) $\frac{x}{-1}+\frac{y}{4}=2$
¿Cuánto vale n en la ecuación ax+by=n, sabiendo que las rectas determinadas por la ecuación pasan por el origen?
Escriban la ecuación paramétrica de la recta $3x+2y-1=0$ .
Hallen el punto de intersección de las siguientes rectas:
$x=2+t$ $y=-1+3t$
y
$y=4x-3$
Expresen la ecuación de la siguiente recta en la forma vectorial, paramétrica, general y explícita.
$\frac{x-3}{4}=\frac{y+1}{2}$
Escriban la ecuación de una recta que pasa por el punto (0,0) y es paralela a la recta:
a) $(x,y)=(2,-3)+t(2,3)$
b) $y=-3x-5$
Una recta pasa por el origen y por el punto (-5,3), ¿cuál puede ser una de sus ecuaciones vectoriales?
Escriban dos vectores que se encuentren en la recta $3x+2y=0$ .
Hallen la ecuación de la mediatriz al segmento de extremos A=(-2,5) y B=(2,1).
¿Cuáles son la ecuaciones explícitas de las rectas bisectrices a los cuadrantes en un plano coordenado?
¿Qué ángulo forma con el eje positivo de las x, la recta x-2y+1=0?
Un triángulo ABC es equilátero tal que AC=BC=10, el punto A tiene coordenadas (-2,4) y el punto B (3,4), ¿cuáles son las posibles coordenadas de C?
Escriban las ecuaciones generales y vectoriales de los ejes coordenados.
¿El punto (2,3) es intersección de las rectas x=2 e y=3?
¿Cuál es la distancia del punto (2,3) a la recta 2x-y+3=0?

Cónicas

Escriban la ecuación de una circunferencia de centro C=(-3,5) y radio r=4.
a) Represéntenla gráficamente.
b) Hallen los puntos de intersección con los ejes, analíticamente.
Escriban la ecuación general de la circunferencia de centro C=(1,3) y radio r=2.
Hallen el centro y el radio de la circunferencia:
$x^2+y^2-8x+2y+10=0$
Hallen los puntos de intersección de la circunferencia
$x^2+y^2=4$
con la recta
$y+3x-1=0$
Representen gráficamente la circunferencia y la recta.
Hallen la ecuación de la circunferencia de centro (4,-2) que es tangente a la recta $y=x+2$
Grafiquen y encuentren los elementos principales de la elipse dada por la ecuación
$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$
Escriban la ecuación de la elipse que tiene focos en (2,0) y (-2,0) y uno de sus vértices en (3,0)?
Encuentren los puntos de intersección entre la elipse
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$
y la recta
$x-y-2=$
¿Cuáles son las coordenadas de los focos en la elipse $3x^2+4y^2=12$ ?
Escriban la ecuación de una elipse que tiene focos en (0,2) y (0,-2) y pasa por el punto (3,2).
Grafiquen y encuentren los elementos de la hipérbola dada por la ecuación:
$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
Encuentren la ecuación de la hipérbola del gráfico:
Una hipérbola tiene asíntotas cuyas ecuaciones son $y=\pm 2x$ y vértice en el punto (3,0). Encuentren la ecuación y represéntela gráficamente.
Grafiquen la parábola
a) $y^2=2x$
b) $x^2=-y$
Encuentren foco y directriz en las parábolas del punto anterior.
¿Cuáles serán las coordenadas de foco y la ecuación de la directriz en la parábola dada por la ecuación $y=x^2-1$
¿Qué se obtiene de la intersección de un cono y plano perpendicular el eje del cono?
El cono de la figura tiene ecuación $z^2=x^2+y^2$ su eje es el eje z, y la recta directriz forma un ángulo de 45° con el eje z. (Creado en Maple 13)
¿Qué se obtiene de la intersección del cono anterior con un plano que pase por los ejes x y z?
¿Qué ángulo debe formar un plano con el eje del cono del ejercicio 17 para que la intersección entre el plano y el cono de una parábola? Si ese palno pasa por el vértice del cono, ¿en qué se degenera?
La elipse y la hipérbola tienen dos focos, en la circunferencia los focos coinciden para formar el centro, la parábola tiene un foco.
Si las cónicas fueran un mismo objeto matemático miradas desde puntos de vistas diferentes, ¿dónde está el segundo foco de la parábola?