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Función compuesta

Dos funciones pueden combinarse para formar una función. Supongamos que tenemos que realizar dos
tareas, sumar cinco a un número y luego elevardo al cuadrado. Las expresiones de dichas funciones
serían:
f(x)=x+5
g(x)=x^2

Si elegimos el número 6 para aplicarle nuestras dos funciones obtenemos:

f(6)=6+5=11

luego

g(11)=11^2=121

6 –> 11 –> 121

¿Cómo sería la función que lleva 6 a 11 directamente?

h(x)=(x+5)^2

A la función h combinación de las funciones f y g se la llama función compuesta.

Definición:

Si f y g son dos funciones, la función compuesta, fog, se define por:

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Repaso: Polígonos

  1. ¿Qué nombre reciben los polígonos de
    a) 5 lados?
    b) 6 lados?
    c) 8 lados?
    d) 10 lados?
  2. Si un polígono tiene 12 lados:
    a) ¿Cuántas diagonales por un vértice tiene?
    b) ¿Cuántos triángulos quedan determinados con las diagonales del punto anterior?
    c) ¿Cuánto da la suma de sus ángulos interiores?
    d) ¿Cuánto da la suma de sus ángulos exteriores?
  3. ¿Cuándo un polígono es regular?
  4. ¿Qué nombre recibe el polígono regular de tres lados?
  5. ¿Qué nombre recibe el polígono regular de cuatro lados?
  6. Si un polígono regular tiene 7 lados:
    a) ¿Cuánto da la suma de sus ángulos interiores?
    b) ¿Cuánto da la suma de sus ángulos exteriores?
    c) ¿Cuánto mide un ángulo interior?
    d) ¿Cuánto mide un ángulo exterior?

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Repaso: Ángulos

  1. Completen el siguiente párrafo.
    Toda recta divide al plano en dos regiones llamadas …………………. . Dos rectas que se cruzan dividen al plano en ……….. regiones. Cada una de esas regiones se llama ………………. . Si las regiones son todas iguales, cada una de ellas se llama ………………….. ………………… y se dice que las rectas son ………………………… . Todo semiplano es un ángulo ……………………. .
  2. Grafiquen usando semicírculo:
    a) un ángulo agudo
    b) un ángulo obtuso de 127°
    c) un ángulo cóncavo de 245°
  3. ¿Cuándo dos ángulos son complementarios? ¿y suplementarios?
  4. Para que dos ángulos sean suplementarios, ¿es necesario que tengan un lado en común?
  5. ¿Cuál es el complemento de un ángulo de 32°?
  6. ¿Cuál es el suplemento de un ángulo de 104° 12′ 37”?
  7. ¿Cuándo dos rectas son secantes?
  8. ¿Cuándo dos ángulos son adyacentes?
  9. Grafiquen dos ángulos adyacentes y nómbrenlos alfa y beta.
  10. ¿Qué propiedad tienen los ángulos adyacentes?
  11. ¿Cuándo dos ángulos son opuestos por el vértice?
  12. Grafiquen dos ángulos opuestos por el vértice y nómbrenlos gamma y delta.
  13. ¿Qué propiedad tienen los ángulos opuestos por el vértice?
  14. Encuentren las amplitudes de α y β, sabiendo que son adyacentes y que:
    α = 3(x+12°)
    β = 54°
  15. Encuentren las amplitudes de α y β, sabiendo que son opuestos por el vértice y que:
    α = 2x+37°
    β = 5x +10°

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Repaso de Matemática 1° Año 2011

 

 

 

 

 

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ejercicio_001

Geometría Analítica – Coordenadas – s001

Ubicar los siguientes puntos en un sistema cartesiano:
A(3,5)
B(-2,4)
C(4,-1)
D(0,-3)

Para ubicar un punto P(x,y) en un plano con un sistema de coordenadas cartesianas conviene primero movernos horizontalmente según lo que indique la coordenada x, si es positiva el desplazamiento es hacia la derecha, si es negativa hacia la izquierda, si es cero nos quedamos en el origen. Luego hay que desplazarse verticalmente según lo que indique la coordenada y, si es positiva nos desplazamos hacia arriba, si es negativa hacia abajo y si es cero nos quedamos en el eje x.

ejercicio_001

 

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Binomio de Newton

Sea a+b un binomio y n un número natural, podemos encontrar del desarrollo de una potencia de (a+b) aplicando la fórmula conocida como Binomio de Newton:

(a+b)^n=\sum_{i=1}^n{\binom{n}{i}a^{n-i}b^{i}}

Ejemplo:

(a+b)^3=\binom{3}{0}a^{3-0}b^{0}+\binom{3}{1}a^{3-1}b^{1}+\binom{3}{2}a^{3-2}b^{2}+\binom{3}{3}a^{3-3}b^{3}
(a+b)^3=\binom{3}{0}a^{3}b^{0}+\binom{3}{1}a^{2}b^1+\binom{3}{2}a^1b^{2}+\binom{3}{3}a^0b^{3}
(a+b)^3=1.a^{3}.1+3.a^{2}b+3.ab^{2}+1.1.b^{3}
(a+b)^3=a^{3}+3.a^{2}b+3.ab^{2}+b^{3}

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Problemas

  1. Encontrar los números que se triplican al sumarle 26.
  2. Don Manolo tiene dos clases de aceite, la primera de $6 el litro y la segunda de $7,2 el litro. ¿Cuántos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros de mezcla a $7 el litro?
  3. ¿Qué edad tiene Lola si se sabe que dentro de 56 años tendrá cuatro veces la edad que tiene ahora?
  4. Cada vez que un jugador de fútbol mete un gol de penal con los ojos cerrados le aumentan 5 pesos el sueldo pero si lo erra le disminuyen el sueldo en 7 pesos. Si después de 15 penales ganó un extra de 55 pesos ¿cuántos penales con los ojos cerrados metió?
  5. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?
  6. Cada vez que un jugador de fútbol mete un gol de penal con los ojos cerrados le aumentan 5 pesos el sueldo pero si lo erra le disminuyen el sueldo en 7 pesos. Si después de 15 penales ganó un extra de 55 pesos ¿cuántos penales con los ojos cerrados metió?
  7. Una piscina se llena por intermedio de dos caños en 15/8 de hora. Usando sólo el primer caño se puede llenar la piscina en una hora menos que usando solo el segundo caño. ¿Cuántas horas tarda cada uno de los caños (por separado) en llenar la piscina?
  8. Una pileta de natación puede llenarse desde dos caños A y B. Con A se llena en 10 hs y con B en 12 hs. ¿Cuánto tarda en llenarse si se usan los dos caños?
  9. Dos obreros trabajando juntos pueden cumplir una tarea dada en 12 horas. El primero de ellos por separado puede realizar el mismo trabajo 10 horas más rápidamente que el segundo. ¿Cuánto tarda cada obrero en separado en realizar la tarea?
  10. Dos obreros A y B aceptaron realizar cierto trabajo en 16 días. Después de cuatro días de trabajo conjunto, el obrero A pasó a otro trabajo, debido a lo cual B (trabajando solo) tardó 12 días más que el plazo establecido en terminar el trabajo. ¿Cuánto hubiera tardado cada obrero por separado en realizar el trabajo total?

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puntos

1er Año – Repaso Integral – 2011

1) (3+?)^2-8=19

  • a) 1
  • b) 2
  • c) 3
  • d) 4
2) x+2x+3x=
  • a) 5x
  • b) 5x^3
  • c) 6x
  • d) 6x^3

3) CDLXIII =

  • a) 463
  • b) 663
  • c) 443
  • d) 643

4) Completen la tabla:

a b c a+c b+c
4 8 9
  • a) a=1
  • b) a=2
  • c) a=3
  • d) a=4

5) \sqrt[3]{5^2+2}.(7^0+4)=

  • a) 5
  • b) 10
  • c) 15
  • d) 20

11) No es múltiplo de 13:

  • a) 39
  • b) 195
  • c) 297
  • d) 403

12)¿Qué número primo le sigue a 23?

  • a) 25
  • b) 27
  • c) 29
  • d) 31

13) mcm(8;10)=

  • a) 16
  • b) 20
  • c) 40
  • d) 80

14) mcd(3,7)=

  • a) 7
  • b) 5
  • c) 3
  • d) 1

15) ¿Qué número es A?

  • a) 3,2
  • b) \frac{17}{5}
  • c) 3,25
  • d) \frac{17}{3}

16)\frac{26}{10}=\frac{}{15}

  • a) 9
  • b) 19
  • c) 29
  • d) 39

17) 50 de mis 85 libros son de matemática, ¿qué fracción representa a los que no son de matemática?

  • a) \frac{10}{17}
  • b) \frac{7}{17}
  • c) \frac{30}{85}
  • d) \frac{50}{85}

18) La fracción irreducible de \frac{100}{148}

  • a) \frac{200}{96}
  • b) \frac{50}{74}
  • c) \frac{2}{3}
  • d) \frac{25}{37}

19) 4\frac{1}{7}

  • a) \frac{5}{7}
  • b) \frac{29}{7}
  • c) \frac{25}{7}
  • d) \frac{3}{7}

20) 4,333333...

  • a) \frac{43}{3}
  • b) \frac{40}{33}
  • c) 4\frac{3}{5}
  • d) 4\frac{1}{3}

31) Observen el gráfico:

¿Cuáles son las coordenadas del punto A?

  • a) (3,1)
  • b) (1,3)
  • c) (-1,3)
  • d) (3,-1)

32) Observen el gráfico anterior:

¿Qué punto tiene coordenadas (1,-2)?

  • a) El punto B
  • b) El punto C
  • c) El punto D
  • d) El punto E

41) x+x+2x-3x+10x-8x+x=

  • a) 4x
  • b) 26x
  • c) 7x
  • d) 5x

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Estrategias para resolver problemas

¿Cómo resolver problemas?

Muchas veces no sabe uno, ni siquiera, por dónde empezar.  Ahora veremos unas cuantas estrategias de pensamiento útiles en combinatoria y toda clase de problemas. Estas estrategias te pueden ayudar encaminándote hacia la solución del problema.

  • Experimenta, juega con el problema
    La matemática es, en buena medida, una ciencia experimental. Al hacer experimentos con los datos del problema  te familiarizarás con ellos y más fácilmente se te ocurrirá lo que debes hacer para resolverlo.
    Es lo que, seguramente, hiciste cuando resolviste problemas anteriormente.
  • Hazlo más fácil para empezar
    Muchas veces un problema es difícil porque su extensión lo hace poco transparente. Si te inventas otro parecido pero más sencillo, se te puede ocurrir una idea que te lleve a resolver, después, el más difícil.
  • Haz un diagrama
    Un diagrama que resuma gráfica y esquemáticamente la situación del problema, proporciona un apoyo al pensamiento muchas veces decisivo para su resolución.
  • Escoge una buena notación
    La notación, la simbología que se utilice, puede ayudar mucho a la resolución de un problema.
    Mira si tu problema se parece a alguno que ya conozcas
    Es posible que tu problema tenga el mismo aire que otro que ya hayas resuelto. Éste puede proporcionarte pistas que sean útiles para resolver el nuevo.
  • Imagínate el problema resuelto
    Una estrategia, útil en ocasiones, consiste en suponer tu problema resuelto e intentar obtener consecuencias que den alguna luz relacionando, mediante fórmulas, gráficas o figuras, lo que buscas (la solución) con que tienes (datos).
Extraído de Matemáticas 1 – Miguel de Guzmán

 

 

 

 

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Problemas de Combinatoria

Resuelvan los siguientes problemas:
  1. Una chica tiene 6 blusas, 4 pantalones y 3 pares de zapatillas. ¿Entre cuántas indumentarias distintas puede escoger para dar un paseo en bicicleta?
  2. ¿De cuántas formas pueden tres chicos repartirse tres helados distintos comiéndose un helado cada uno?
  3. Tres chicos van a una heladería en la que hay 4 tipos distintos de helados. ¿De cuántas formas distintas pueden hacer la elección si cada uno compra un helado?
  4. Cuatros chicos juegan una carrera. ¿De cuántas formas pueden ordenarse al llegar a la meta? No hay empates.
  5. Veinte chicos juegan una carrera. ¿De cuántas formas pueden ordenarse al llegar a la meta? No hay empates.
  6. En un juego de trenes hay dos vagones A y B, una locomotora L, como se indica en la figura. La locomotora puede empujar o arrastrar los vagones.
    Usando el desvío, en el que no se puede dejar más de un vagón, haz las maniobras necesarias para cambiar de lugar los vagones A y B, (es decir, colocar A donde está B y B donde está A).
  7. Dos amigos, Antonio y Laura, juegan de la siguiente forma: Antonio coloca sobre la mesa un cierto número de fósforos, entre 20 y 50. Laura toma entre 1 y 10 fósforos. Luego, Antonio toma entre 1 y 10 de las que quedan, y así sucesivamente. Gana el partido quien se lleve el último fósforo y deje la mesa vacía. ¿Quién tiene ventaja, Antonio o Laura? ¿Por qué?
  8. En un grupo de 3 señoras, X, Y, Z, una es argentina, otra española y otra brasileña. Están jugando a las cartas. Cada una ha pasado una carta a la que está a su derecha. La señora Y ha pasado una carta a la argentina. La señora X ha pasado una a la que pasado la carta a la brasileña. ¿Cuál de ellas es argentina, cuál española y cuál brasileña?
  9. Mi amigo Luis y yo jugamos a menudo al siguiente juego. Sobre un tablero de ajedrez uno coloca una ficha de dominó (no importa la numeración) ocupando dos casillas del tablero. Luego el otro coloca otra; luego el otro; … El primero que no puede colocar, pierde.
    Luis que amablemente, me deja siempre colocar el primero… ¡siempre me gana! ¿En qué consiste su plan?
  10. Los 18 socios de la Cofradía del Nogaleros Unidos reciben en su local de Villafría de la Sierra a los 11 miembros de la Hermandad de la Buena Nuez, del pueblo vecino, para hablar de sus problemas comunes.
    Cuando van a saludarse, a Isidro se le ocurrió una feliz idea:
    - Aprovechemos cada apretón de mano para partir una nuez.
    - Magnífica ocurrencia!… Celebraron los demás.
    ¿Cuántas nueces pudieron partir con sus saludos?
  11. 10 amigos juegan tres partidos de bolos y, al final de cada una, anotan al vencedor.

1ra partida

2da partida

3ra partida

Vencedores

¿De cuántas maneras posibles se puede rellenar la hoja adjunta?

12) Diez amigos juegan un campeonato de ajedrez en el que se reparten tres copas. ¿De cuántas formas pueden llevarse los premios? Las copas tienen diferente tamaño, la más grande para el 1ro y la más chica para el 3ro.

13) ¿De cuántas formas pueden repartirse dos entradas para un concierto de rock entre seis chicas? ¿Y si en vez de 2 entradas tuvieran 3?

14) Los mismos diez amigos del problema anterior juegan un campeonato de ajedrez en el que se reparten tres copas. ¿De cuántas formas pueden llevarse los premios? Las copas tienen diferente tamaño, la más grande para el 1ro y la más chica para el 3ro.

15) Diez amigos juegan un campeonato de ajedrez en el que se reparten tres copas. ¿De cuántas formas pueden llevarse los premios? Las copas son iguales y no hay distinción entre el primer, el segundo y el tercer lugar.

16) Con 6 latas de pintura de distintos colores, ¿cuántas mezclas de tres pinturas se pueden hacer?

 

Problemas extraídos del Libro Matemática 1 – COU – Miguel de Guzmán

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