Sistemas de ecuaciones

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sep 242010
 

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas.

Ejemplos:

\left\{\begin{array}{cc}<br /> 2x+3y = 5\\<br /> x-y = 5<br /> \end{array}\right.

\left\{\begin{array}{ccc}<br /> a+b+2c = 5\\<br /> 2a-b+3c=3\\<br /> a+2b+3c=8<br /> \end{array}\right.

El número de ecuaciones y el de incógnitas no tienen que ser iguales, aunque en esta ocasión analizaremos sistemas en los que dichos números coinciden.

Resolver un sistema de ecuaciones es hallar los valores de las incógnitas que son soluciones de cada una de las ecuaciones del sistema.

En el primer ejemplo vemos que las incógnitas son x e y.

La solución de ese sistema es x = 4 e y = -1.

Verifiquemos que sea cierto.

\left\{\begin{array}{cc}<br /> 2.4+3.(-1)=8-3 = 5\\<br /> 4-(-1)=4+1 = 5<br /> \end{array}\right.

Existen muchos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, entre ellos podemos nombrar:

Método de sustitución

Método de igualación

Método de reducción

Método de determinantes

Método de reducción de Gauss

Método del pivote

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Distancia de un punto a una recta

 Geometría  No Responses »
sep 222010
 

¿Cómo encontrar la distancia de un punto P a una recta r?

Lo primero que debemos hacer es trazar una recta perpendicular a r que pase por P.

Luego marcamos el punto Q, intersección entre la recta r y la perpendicular trazada anteriormente.

Finalmente, trazamos el segmento PQ, la longitud de este segmento nos da la distancia entre la recta r y el punto P.

d(r , P) = d(P , Q) = PQ

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Ejercicios con Geogebra

 Geometría  1 Response »
sep 222010
 
  1. Construir un cuadrado a partir de un segmento AB correspondiente al lado.
    Recuerden que los lados son perpendiculares y que los lados son congruentes, la congruencia la pueden obtener construyendo circunferencias (compás).
  2. Construir un cuadrado a partir de un segmento CD correspondiente a la diagonal.
    Recuerden que las diagonales son perpendiculares y se cortan en el punto medio.
  3. Una vez construida la circunferencia circunscripta a un triángulo ABC, aprovechando las características del programa para mover los objetos iniciales, y mantener las relaciones y distancias, investigar las cuestiones siguientes:
    a) ¿Qué condiciones o qué tipo de triángulo hará que el circuncentro sea un punto interior del triángulo?
    b) ¿Cuándo el circuncentro será un punto exterior al triángulo?
    c) ¿Cuándo estará el circuncentro sobre el perímetro del triángulo?
    d) ¿Hay algún triángulo en el que el circuncentro sea uno de sus vértices?
    Recuerden que una circunferencia circunscripta a un triángulo se puede graficar obteniendo previamente el circuncentro (punto de intersección de las mediatrices del triángulo).
  4. En un triángulo ABC, dibujar la circunferencia inscripta.
    Recuerden que el incentro se obtiene de la intersección de las bisectrices.
  5. En un triángulo ABC obtener los puntos correspondientes al baricentro y al ortocentro.
    Recuerden que el baricentro es la intersección de las medianas del triángulo y el ortocentro de las alturas.
  6. A partir de un triángulo ABC cualquiera, construir un triángulo rectángulo y un triángulo isósceles con el mismo área que el triángulo ABC.
    No hay que realizar ningún tipo de cuenta para este ejercicio, solo recuerden que el área se obtiene de un triángulo se obtiene como base por altura. Entonces, para que dos triángulos tengan el mismo área la base y las alturas deben ser iguales.
  7. Dada una recta r, un punto P perteneciente a la recta y un punto A que no pertenece a r. Trazar la circunferencia que pasa por A y es tangente a r en punto P. Incluir como comentario en la construcción las propiedades geométricas utilizadas para trazar la circunferencia.
    Recuerden que la tangente es perpendicular al radio y que si los dos puntos pertenecen a la misma circunferencia se encuentran a igual distancia del radio.
  8. En un triángulo ABC, comprobar que las bisectrices exteriores de dos ángulo A y C, y la bisectriz interior del otro ángulo B se cortan en punto denominado exincentro, que es el centro de la circunferencia tangente al lado AC y a la prolongación de los lados AB y BC.
    Prolonguen los lados que sean necesarios para construir las bisectrices exteriores y cuando tengan el punto de intersección no se olviden que la distancia de un punto a una recta es la longitud de un segmento perpendicular a la recta que tiene por extremos el punto en cuestión y la intersección de la recta con la perpendicular.

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Ejercicios con polígonos

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sep 212010
 

Si un polígono tiene 17 lados.

  • ¿Cuántas diagonales pasan por un vértice?
    n – 3 = 17 – 3 = 14
    El polígono tiene 14 diagonales por cada vértice.
  • ¿Cuántas diagonales tiene en total?
    n . (n – 3) / 2 =  17 . 14 / 2 = 119
    El polígono tiene 119 diagonales en total.
  • ¿Cuántos triángulos quedan formados con las diagonales por un vértice?
    n – 2 = 17 – 2 = 15
    El polígono tiene 15 triángulos formados por las diagonales por un vértice.
  • ¿Cuánto da la suma de las amplitudes de sus ángulos interiores?
    180° . (n – 2) = 180° . 15 = 2700°
    La suma de los ángulos interiores es de 2700°.
  • ¿Y la suma de la amplitudes de sus ángulos exteriores?
    360°
    La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono siempre es de 360°.

Si además el polígono fuese regular.

  • ¿Cuánto mide la amplitud de un ángulo interior?
    180° . (n – 2) / n = 180° . 15 / 17 = 2700° / 17 = 158° 49′ 24,7″
    Cada ángulo mide lo mismo, dado que el polígono es regular.
  • ¿Cuánto mide la amplitud de un ángulo exterior?
    Tenemos dos formas de encontrar la amplitud:
    360° / n = 360° / 17 = 21° 10′ 35,3″
    180° – Amplitud áng. int. = 180° – 158° 49′ 24,7″ = 21° 10′ 35,3″
    La amplitud de cada ángulo exterior del polígono de 17 lados es 21° 10′ 35,3″
 Posted by roberprof at 22:05  Tagged with:

Elementos de un polígono

 Geometría  1 Response »
sep 212010
 

Veamos los elementos de un polígono tomando como ejemplo un pentágono.

Vértices

Son los puntos extremos de los segmentos que forman el pentágono. A, B, C, D y E.

Lados

Son los segmentos consecutivos que forman el polígono.

AB, BC, CD, DE, EA

Diagonales

Una diagonal es un segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

En la siguiente imagen se ven todas las diagonales de un pentágono.

Ángulos interiores

Son los ángulos que tienen como vértices a los vértices del polígono y sus lados contienen a los lados del polígono, además cada ángulo interior contiene a todo el polígono. En la imagen siguiente el ángulo BAE llamado α, tiene como vértice el punto A y sus lados son las semirrecta AB y AE.

Ángulos exteriores

Los ángulos exteriores son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores, como todo ángulo convexo tiene dos ángulos, cualquiera de los dos podría tomarse como exterior.

 Posted by roberprof at 21:32  Tagged with:
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