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Matemática y algo más…
Cilindro hidráulico con Geogebra
3 Sep
Bajen el programa Geogebra haciendo clic aquí.
Pasos para la construcción del cilindro hidráulico :
- Hagan clic en Vista, dejen Cuadrícula y oculten Ejes.
- Muevan la ruedita del mouse para que el cuadriculado no sea muy grande.
- Hagan un segmento AB sobre una línea horizontal. AB = 6
- A la izquierda, en la vista algebraica, van a ver dos objetos libres (A y B) y un objeto dependiente (el segmento a). Si no cambiaron los nombres, estos los pone el programa por defecto.
- Hagan una circunferencia con centro en A y radio 5.
- Hagan un deslizador con un intervalo de 3 a 6. Si no cambiaron los nombres el deslizador se llamará b.
- Hagan una circunferencia con centro en B y radio b. (El deslizador será quién nos dé el radio de esa circunferencia)
- Marquen el punto de intersección de las circunferencias por arriba del segmento AB, por defecto el programara llamará C a este punto.
- Construyan una semirrecta de origen A que pase por C. (Se llamará e)
- Construyan un segmento de extremos B y C. (Se llamará f)
- Construyan una circunferencia de centro B y radio 3.
- Marquen el punto de intersección de la circunferencia anterior con el segmento BC. (Se llamará D)
- Oculten todas las circunferencias.
- Construyan el segmento BD. (Se llamará h)
- Hagan clic con el botón derecho sobre h y cambiar sus propiedades, de tal manera que parezca un cilindro.
- Oculten los nombres de los objetos construídos.
- Haciendo clic con el botón derecho sobre los deslizadores pueden dar animación al cilindro hidráulico.
¿Por qué? Justificaciones para todo.
3 Sep
Tenemos las siguientes inquietudes.
- ¿Puede un triángulo tener dos ángulos rectos? ¿Por qué?
- ¿Pueden dos rectas secantes ser paralelas? ¿Por qué?
- ¿Es posible que un triángulo isósceles tenga un ángulo de 170°? ¿Por qué?
- a es perpendicular a b y b es perpendicular a c, entonces, a es perpendicular a c. ¿Es cierto? ¿Por qué?
- Los ángulos de un triángulo miden 40°, 50° y 90°. Los ángulos de otro triángulo miden 40°, 50° y 90°. ¿Son congruentes los triángulos? ¿Por qué?
- Dos ángulos adyacentes son congruentes, ¿cuánto mide la amplitud de cada uno de ellos? ¿Por qué?
- Un triángulo equilátero, ¿es isósceles? ¿Por qué?
- En un triángulo sus lados miden, 3cm, 1cm, 5cm. ¿Es posible?¿Por qué?
Dejen sus justificaciones como comentarios.
Triángulo isósceles
3 Sep
Teorema: En un triángulo isósceles los ángulos adyacentes a la base son congruentes.
Demostración:
Para demostrar este teorema vamos a utilizar el criterio de congruencia LLL.
Marcamos el punto medio del lado AB y lo llamamos D.
Los triángulos ADC y BDC tienen todos sus lados congruentes, por el criterio LLL, los triángulos son congruentes lo que implica que los ángulos DAC y DBC son congruentes.
Teorema: En todo triángulo isósceles la altura y la mediana de la base coinciden.
Demostración: Utilizando el razonamiento de la demostración anterior, los ángulos ADC y BDC son congruentes y adyacentes a la vez. Por lo tanto, son ángulos rectos. En conclusión, el segmento CD es una mediana y una altura del lado AB.
Teorema: La bisectriz del ángulo opuesto a la base, divide a ésta en dos partes iguales.
Demostración: Utilizando otra vez, el razonamiento anterior, los ángulos ACD y BCD son congruentes, por lo tanto, la bisectriz que pasa por el segmento CD divide al lado AB en dos partes iguales, ya que pasa por su punto medio.
Teoremas en triángulos
3 Sep
Teorema 1: Relación entre lados
En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Teorema 2: Relación entre ángulos
En todo triángulo la suma de sus ángulos (interiores) es igual a 180°.
Teorema 3: Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Criterios de congruencia de triángulos
31 Ago
Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.
Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Cuarto criterio de congruencia: LLA
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes, entonces los dos triángulos son congruentes.
a ≡ a’
b ≡ b’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
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