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Vectores libres

6to Año, Geometría Analítica, Vectores No Responses »

mar 202010

A diferencia de los vectores fijos, que para ser equivalentes tienen que tener igual:

módulo
dirección
sentido
punto de aplicación

Los vectores libres se dice que son equivalentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vale aclarar que para tener la misma dirección los vectores deben estar en la misma recta o en rectas paralelas.

Los vectores u, v y w son equivalentes, el vector z tiene la misma dirección y módulo que los tres anteriores pero diferente sentido por eso no es equivalente a ninguno de ellos.

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Vectores en el plano

6to Año, Geometría Analítica, Vectores 2 Responses »

mar 202010

Para representar muchas cantidades físicas, necesitaremos de un nuevo concepto matemático, que pueda describir no solo la magnitud de dicha cantidad sino también su dirección, ejemplos de éstas son el desplazamiento, la fuerza, la velocidad y la aceleración.

Para cumplir con ese objetivo, usaremos un segmento orientado, que llamaremos vector. Lo representaremos gráficamente por medio de una flecha.

Por ejemplo podemos considerar el vector de origen P que se extiende hasta el punto Q, llamado extremo.

Denotaremos al vector como:

$\overrightarrow{PQ}$

La dirección del vector es la recta que pasa por los puntos P y Q.

El sentido del vector es de P hacia Q, está indicado por la flecha.

El módulo del vector es la longitud del segmento PQ:

$\left |{\overrightarrow{PQ}}\right |$

En algunos casos es conveniente denotar al vector con una sola letra, en ese caso, usaremos letras minúsculas:

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{PQ}$

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Operaciones con números enteros: suma y resta

2do Año, Números Enteros 6 Responses »

mar 152010

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Suma

Para sumar dos números enteros hay que tener en cuenta el signo y el valor absoluto de cada número. Luego podemos agrupar las reglas de la suma en dos proposiciones.

Para sumar dos números enteros de igual signo, sumamos los valores absolutos y el signo del resultado coincide con el signo que tienen los dos números.
Ejemplos:
$(+8)+(+5)=+13$
$(-8)+(-5)=-13$
$+4+6=+10$
$-4-6=-10$
Para sumar dos números enteros de distinto signo, restamos los valores absolutos (el mayor valor absoluto menos el menor) y el signo del resultado coincide con el signo del número que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplos:
$(+8)+(-5)=+3$
$(-8)+(+5)=-3$
$+4-6=-2$
$-4+6=+2$
Al igual que en los números naturales el cero es el elemento neutro para la suma de números enteros.
Ejemplos:
$-9+0=-9$
$0-5=-5$
$(+5)+0=+5$

Resta

Para restar dos números enteros hay que transformar la resta en una suma con la siguiente regla:

Para restar dos números sumamos al primer número (minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).
$a-b=a+(-b)$
Ejemplos:
$(+4)-(-3) =(+4)+(+3)=+7$
$(+4)-(+3) =(+4)+(-3)=+1$
$-7-(-4)=-7+4=-3$
$-7-(+4)=-7+(-4)=-11$

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Analizando los diferentes ejemplos de suma y resta de números enteros vemos que a veces para sumar tenemos que restar y otras veces cuando tenemos que restar, sumamos. Es decir, todo depende de la operación dada y de los signos de los números.

Otra consideración que tenemos que hacer es la siguiente, cuando trabajamos situaciones con números positivos y negativos, no sabíamos ninguna de las reglas dadas anteriormente, usábamos el sentido común para llegar a la respuesta de una operación, para algunos, es más eficiente usar esas situaciones que memorizar las reglas que acabamos de escribir.

Otra consideración importante es el exceso de paréntesis que están en los ejemplos, podríamos quitarlos siguiendo las siguientes reglas:

Si delante de un paréntesis no hay ningún signo o un signo positivo, podemos quitar el paréntesis y el número conserva su signo.
$(+a)=+a=a$
$(-a)=-a$
$a+(+b)=a+b$
$a+(-b)=a-b$
Si delante de un paréntesis hay un signo negativo, quitamos el paréntesis, pero cambiamos el signo a los números que se encuentran dentro del paréntesis.
$a-(+b)=a-b$
$a-(-b)=a+b$

Quitemos todos los paréntesis de los ejemplos y resolvamos las operaciones usando la siguiente situación, si un número es positivo tenemos plata a nuestro favor, si es negativo es una deuda.

$(+8)+(+5)=+8+5=+13$
Tengo $8 y $5, en total tengo $13.
$(-8)+(-5)=-8-5=-13$
Debo $8 y debo $5 más, en total, debo $13.
$+4+6=+10$
Tengo $4 y encontré $6, ahora tengo $10.
$-4-6=-10$
Compré un golosina por $4 y le debía al kiosquero $6, ahora le debo $10.
$(+8)+(-5)=+3$
Tengo $8 y debo $5, pagué mi deuda y me sobraron $3.
$(-8)+(+5)=-3$
Debo $8 y pague $5, ahora solo debo $3.
$+4-6=-2$
Tengo $4 y compré golosinas por $6, quedé debiendo $2.
$-4+6=+2$
Debo $4 y tengo $6 , pagué mi deuda y me sobraron $2.

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Puntos en el plano

2do Año, Funciones 7 Responses »

mar 142010

Para representar puntos en el plano necesitamos establecer un sistema de coordenadas cartesianas.

Primero observen las coordenadas de los siguientes puntos. (Haz clic aquí)

¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E? (Haz clic aquí)

Una ayuda podría ser pensar de la siguiente manera, supongan que se encuentran en el punto $O=(0,0)$ (miren la imagen anterior) y quieren llegar al punto A. Las consignas para desplazarse son las siguientes, primero de manera horizontal y luego vertical. Para llegar a A desde O, primero se desplazan dos unidades a la derecha y luego tres unidades para arriba. Teniendo en cuenta las consideraciones dadas, para llegar al punto A realizamos dos desplazamientos y lo podemos escribir como $(2,3)$ .

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Propiedades de Conjuntos

Mix No Responses »

mar 132010

Dados los conjuntos $A$ , $B$ y $X$ .

Tal que $A \subset X$ y $B \subset X$ .

Propiedad:

$\bold{A-B=A \cap B^c}$

Demostración:

Como debemos demostrar una igualdad entre conjuntos y ésta es equivalente a una doble inclusión, dividimos la demostración en dos partes.

Sea $x \in A-B$ , entonces $x \in A$ y $x \notin B$
o lo que es lo mismo $x \in A$ y $x \in B^c$ .
Por lo tanto $x \in A\cap B^c$
Sea $x \in A\cap B^c$
es decir, $x \in A$ y $x \in B^c$
o sea que, $x \in A$ y $x \notin B$ .
Por lo tanto $x \in A-B$