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El número e

6to Año, Análisis Matemático No Responses »

feb 232010

El número e se define como:

$e=lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n$

Se lo conoce con el nombre de número de Neper o número de Euler, es un número real y es irracional, es decir, tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

$e=2,718281828...$

Supongamos que tenemos $1 y lo ponemos en un banco al 100% anual y se pagan los intereses en un período, tendremos:

1er período = $1 . 2 = $2

Pero si los intereses se pagan en dos períodos tendremos:

1er periodo = $1 . 1,5 = $1,5
2do período = $1,5 . 1,5 = $2,25

En tres períodos, tendríamos.

1er período = $1 . 1,33 = $1,33
2do período = $1,33 . 1,33 = $1,77
3er período = $1,77 . 1,33 = $2,37

Ordenando los datos en una tabla y buscando el capital final con períodos mayores, obtenemos:

Cantidad de períodos	Factor de multiplicación	Capital Final
1	1+1=2	$2
2	1+1/2=1,5	$2,25
3	1+1/3=1,33	$2,37
4	1+1/4=1,25	$2,44
5	1+1/5=1,2	$2,48
…	…	…
10	1+1/10=1,10	$2,59
…	…	…
100	1+1/100	$2,70
…	…	…
1000	1+1/1000	$2,71

Si quisiéramos saber cual es el capital considerando 10000 períodos, deberíamos realizar la siguiente operación:

$\$1.(1+\frac{1}{10000})^{10000}=\$2.718145927$

que se aproxima bastante al valor de $e$ .

Usando una calculadora científica, la computadora, wolframalpha o el buscador de google, encuentren el capital retirado utilizando 1 millón de períodos.

$(1+\frac{1}{1000000})^{1000000}$

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Ecuación

1er Año, Ecuaciones 3 Responses »

feb 222010

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las cuales por lo menos debe existir una incógnita.

Las expresiones deben contener operaciones matemáticas con números e incógnitas.

La o las incógnitas se representan con letras, normalmente se utiliza un letra x pero no es una regla.

Ejemplos de ecuaciones:

$3x-47=13$
$10=4m-m+18$
$4(a-5)=6a-30$
$2x^2-1=49$
$2=4p+p^3$
$1=2-\frac{1}{b}$
$\sqrt{x-3}=7$
$x+y=20$

Hagamos algunas consideraciones acerca de los ejemplos:

Las ecuaciones 1 a 7 tienen una incógnita, la ecuación 8 tiene dos incógnitas.
Las ecuaciones 2, 3 y 5 tienen una incógnita que aparece más de una vez en la ecuación, el valor de la incógnita es el mismo en toda la ecuación.
Las tres primeras ecuaciones y la última reciben el nombre de ecuaciones lineales, las incógnitas solo intervienen en las operaciones de suma, resta y multiplicación por un número.
La ecuación 4 recibe el nombre de ecuación cuadrática y la 5 el nombre de ecuación cúbica, los nombres se derivan de los exponentes de las incógnitas.
La ecuación 6 recibe el nombre de ecuación racional, dado que la incógnita aparece en el denominador de una fracción o también podríamos decir como divisor en una división.
La ecuación 7 recibe el nombre de ecuación irracional, dado que la incógnita se encuentra bajo el signo radical.

Respondan:

¿Por qué la expresión $2x+5$ no es una ecuación?

¿Por qué la expresión $2+8-3=2.3+1$ tampoco es una ecuación?

Ver también:

Solución de una ecuación

Resolución de una ecuación

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Ecuaciones con balanzas y pesas

1er Año, Ecuaciones 4 Responses »

feb 212010

Supongamos que tenemos la siguiente balanza con platillos:

Algunas consideraciones gráficas:

El dibujo tiene solo dos dimensiones por una cuestión práctica y para trabajar de manera sencilla.
La horizontalidad de los platillos en el mismo nivel representará el equilibrio, es decir los objetos del platillo izquierdo pesarán lo mismo que los del derecho.
Los círculos representan pesas.
El cuadrado rojo representa una caja.

Las pesas verdes tienen el mismo peso, en este ejemplo 1kg.

Las pesas anaranjadas tienen el mismo peso, en este ejemplo 3 kg.

El peso de la caja roja es desconocido.

Pregunta: ¿Cuánto pesa la caja roja?

Si nos tomamos un minuto para razonar tendremos la respuesta de forma inmediata.

¿Cómo podríamos ayudar a alguien más pequeño a encontrar el peso de la caja roja?

Quizás podemos darles la siguiente ayuda:

Si sacamos un pesa de un platillo la balanza se desequilibra.
Para lograr nuevamente el equilibrio debemos sacar una pesa del mismo color del otro platillo.
Hay que repetir los pasos hasta que en el platillo de la izquierda quede solo la caja roja.
El peso de la caja roja será la suma de las pesos (de las pesas) que se encuentran en el platillo de derecha.

¿Es suficiente la ayuda que dimos? ¿O es demasiada?

Después de sacar tres pesas verdes y una anaranjada de cada platillo nos queda:

Ahora parece fácil responder cuando pesa la caja roja.

La caja roja pesa 4 Kg.

¿Cómo podríamos escribir en símbolos nuestra forma de razonar sin tener que dibujar las balanzas?

Parece que una opción es traducir cada paso en nuestro razonamiento con símbolos matemáticos (números, operaciones, igualdad, etc.).

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De las balanzas y las pesas al lenguaje simbólico

1er Año, Ecuaciones No Responses »

feb 212010

La situación que habíamos presentado en ecuaciones con balanzas y pesas, era la siguiente:

Balanza y ecuaciones

¿Cómo expresar la situación, con cada uno de sus pasos, de manera simbólica?

Primero tendríamos que nombrar los objetos que aparecen con símbolos que los representen.

Veamos que tenemos en el platillo de la izquierda: la pesa desconocida, tres pesas verdes y una anaranjada; en el platillo de la derecha: dos pesas anaranjadas y cuatros pesas verdes.

Pero que característica de las pesas nos interesa, no es la forma, no es el color, es el peso y todo lo que tenemos a la izquierda pesa igual que lo que está a la derecha.

Para saber el peso total de un platillo tenemos que sumar los pesas de cada una de las pesas, es decir, tenemos que usar el símbolo “+”.

El equilibrio del platillo representa la igualdad de pesos, representaremos dicho equilibrio con el signo “=”.

Veamos como nos queda la situación inicial en símbolos:

$\bold{x+3+1+1+1=3+3+1+1+1+1}$