Primer Nivel
Intercolegial (1995)
Problema 2
Los nueve números del 1 al 9 están escritos uno en cada ficha. Con las nueve fichas hay que formar tres números de tres dígitos cada uno de modo que la suma de los tres números así obtenidos tenga el máximo valor posible. ¿De cuántas maneras diferentes pueden disponerse las fichas?
El perímetro es la medida del contorno de una figura.
En un rectángulo, el perímetro se obtiene sumando la medida de sus cuatro lados.
Pero en un rectángulo, los lados opuestos miden lo mismo.
Entonces, si llamamos P al perímetro, podemos establecer las siguientes fórmulas para hallar el perímetro de un rectángulo.
Resuelvan el siguiente problema:
De una cartulina rectangular de 50 cm de ancho y 30 cm de altura quitamos cuadrados de las esquinas como lo indica la figura.
a) Encuentren la expresión que permite obtener el volumen de la caja en función de x.
Largo = 50 – 2x
Ancho = 30 – 2x
Alto = x
Volumen = Largo x Ancho x Alto
Donde:
b) ¿Cuántos centímetros tiene que medir x para obtener el volumen máximo?
Para encontrar el valor de x que maximiza el volumen, debemos derivar la función v(x), igualarla a cero, encontrar sus raíces y analizar los puntos críticos.
Usando Mathematics
Como x se debe encontrar entre 0 y 15, analizaremos sólo x = 6,06 para verificar si es un máximo.
Por lo tanto:
Entonces en x = 6,06 hay un máximo.
c) ¿De cuántos cm3 es dicho volumen?
Para encontrar el volumen hallamos v(6,06).
Por lo tanto del volumen máximo es 4104,40 cm3.
Dada la función:
a) Encuentren, máximo, mínimo y punto de inflexión de la función.
Primero derivamos la función y la igualamos a cero para obtener los puntos críticos.
Usando Mathematics
Los puntos críticos son 0 y 2.
Ahora analizamos la segunda derivada:
y buscamos el signo de la segunda derivada en los puntos críticos:
Entonces:
En x=2 hay un Mínimo.
En x=0 hay un Máximo.
Por lo tanto:
Mínimo = (2,-4)
Máximo = (0,0)
Para buscar el punto de inflexión igualamos a cero la segunda derivada:
Punto de inflexión = (1,-2)
b) Obtengan la representación gráfica más adecuada.
Usamos Geogebra
