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Matemática y algo más…
Axiomas y teoremas
16 ago
Además de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geométrico, necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostración por resultar evidentes, a dichos postulados los llamaremos axiomas. Los axiomas también resultan ser entonces el punto de partida, todas los otros postulados que vayamos construyendo necesitarán demostración, es decir que, utilizaremos la lógica junto con los conceptos primitivos y los axiomas para validarlos. Estos nuevos postulados recibirán el nombre de teoremas, y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes postulados o propiedades.
Euclides
Nuestro primer teorema
16 ago
Teorema: por una recta y por un punto que no pertenece a la misma, pasa un único plano.
Demostración: Recuerden que sólo podemos utilizar los conceptos y los axiomas vistos anteriormente para la demostración.
Paso 1: El enunciado del teorema tiene dos partes, en la primera nos dice con los conocimientos que contamos, nos enmarca la situación de la cual debemos partir (Hipótesis); la segunda parte del teorema nos da la conclusión o sea a lo que debemos llegar (Tesis).
Para este teorema en particular la hipótesis es que tenemos una recta y un punto que no está en la recta, ese debe ser nuestro punto de partida; la tesis nos indica que por esos dos objetos, en esas condiciones, pasa un único plano.
Paso 2: Tenemos una recta que llamaremos “r” y un punto fuera de ella que llamaremos “C”. Por el axioma 3 sabemos que r tiene infinitos puntos, a dos de esos puntos los llamaremos A y B. Lógicamente nos encontramos que tenemos tres puntos A, B y C que no estan alineados, pues C no está en la recta que pasa por A y B. Ahora podemos usar el axioma 7 que nos dice que por A, B y C pasa un único plano al cual llamaremos α. Nos queda utilizar el axioma 8 el cual nos asegura que la recta r, que contiene a los puntos A y B, también pertenece al plano α.
Conclusión: la recta r y el punto C pertenecen a un único plano que llamamos α.
Ejercicios de medianas
13 ago
Ejercicio
Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1, 7).
a. Localizar los puntos medios de los lados.
b. Localizar el punto de intersección de las medianas.
c. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es
paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud.
Resolución en .pdf (Acrobat Reader)
Axiomas básicos de la geometría
12 ago
-
Axiomas
Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.
Los axiomas y los conceptos primitivos son la base fundamental de la geometría.
Axiomas básicos
1- El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.
2- El plano tiene infinitos puntos y rectas.
3- La recta tiene infinitos puntos.
4- Por un punto pasan infinitas rectas.
5- Por una recta pasan infinitos planos.
6- Por dos puntos pasa una única recta.
7- Por tres puntos no alineados pasa un único plano.
En este caso debemos aclarar que significa alineados. Tres puntos están alineados si pertenece a una misma recta.
8- Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que pasa por esos dos puntos también se encuentra en el mismo plano.
Conceptos Primitivos
12 ago
El espacio es considerado como un conjunto, sus elementos son puntos y estos se unen para formar las rectas y los planos, entre otras cosas. A estos cuatro conceptos; espacio, punto, recta y plano; no los definiremos, aunque todos tenemos una idea de ellos y conocemos objetos que los pueden representar, pero sólo representar, ya que dichos conceptos son ideales, es decir, existen únicamente en la mente humana.
Los puntos son fundamentales en la construcción del conocimiento geométrico, no tienen dimensión y cuando hablemos de ellos los nombraremos con letras en imprenta mayúscula. Una marca dejada con un lápiz fino es una de las mejores representaciones de un punto.
Las rectas se representan con letras en imprenta minúscula, y se corresponden con líneas que no se doblan.
Los planos se representan con letras griegas y para representarlos podemos utilizar diversas superficies planas, el piso de una habitación, la superficie de una mesa, una hoja de block, etc.
