Análisis Matemático – Ejercicio 3

 6to Año, Análisis Matemático  No Responses »
may 092011
 

Dada la función:

h(x)=x^3-7x+6

a) Encuentren las raíces aplicando el Teorema de Gauss y la regla de Ruffini y la fórmula cuadrática.

Usando Mathematics.

b) ¿Cuál es la ordenada al origen?

Usando Mathematics

h(0)=6

c) Expliquen como encuentran la derivada de la función, según el procedimiento explicado en clase.

Si la función es una función exponencial, la derivada puede hallarse derivando término a término funciones potenciales.

f(x)=a.x^n

f'(x)=a.nx^{n-1}

Es decir, el coeficiente a se multiplica por el exponente y el exponente se reduce en una unidad.

Usando Mathematics

 

d) Encuentren paso a paso el máximo y el mínimo de la función.

Igualamos a cero la derivada y buscamos las raíces.

Los puntos críticos son

x=1,52
x=-1,52

Buscamos la segunda derivada de la función:

Usando Mathematics

Reemplazamos en la segunda derivada los puntos críticos:

h''(1,52)=6.1,52>0

h''(-1,52)=6.(-1,52)<0

Por lo tanto:

en x=1,52 hay un mínimo.

en x=-1,52 hay un máximo.

Para saber cuanto vale el máximo y el mínimo, debemos reemplazar los puntos críticos en la función h(x).

En conclusión:

Hay un máximo.

M=(-1,52;13,12)
Hay un mínimo.

m=(1,52;-1,12)

 

 Posted by roberprof at 17:34

Análisis Matemático – Ejercicio 2

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may 082011
 

Dada la función

g(x)=2^x-3

a) Encuentren la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto x=1.

Primero buscaremos las coordenadas del punto por donde pasa la recta tangente.

P=(x,y)=(1,y)

y=g(1)

Usando Mathematics

P=(x,y)=(1,-1)

Ahora tenemos que encontrar la pendiente de la recta, para eso usaremos la derivada de la función.

Usando Mathematics

 

Reemplazamos x por 1.

La ecuación de una recta tiene la forma:

y=ax+b

y=1,38.x+b

Dado que (1,-1) pertenece a la recta

despejamos b, usando Mathematics

Por lo tanto:

y=1,38.x-2,38

b) Represeten en un mismo gráfico la función g y la recta tangente.

Usando Geogebra

 Posted by roberprof at 20:01

Análisis Matemático – Ejercicio 1

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may 082011
 

Dada la siguiente función:

\displaystyle f(x)=\frac{6x+1}{3x-1}

a) Obtengan la representación gráfica más adecuada para el análisis.

Usaremos el programa Geogebra para obtener la representación gráfica.

El rango usado para el gráfico es x=-5…5 e y=-3…7

b) Analicen completamente la función f.

Dominio

La función f es una función racional, dado que tiene la forma

\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}

donde P(x) y Q(x) son polinomios.

El único lugar donde la función no está definida es donde se anula el denominador P(x).

Usando Mathematics 4.0

Por lo tanto:

Dom(f)=\mathbb{R}\neq\frac{1}{3}

Imagen

La representación gráfica de la función f tiene dos asintotas una vertical en x = 1/3 y una horizontal cuya ecuación es

y=Lim_{x\rightarrow \infty}f(x)

Usando Mathematics

Dado que la gráfica nunca corta la asíntota horizontal, los valores de la función f pueden ser cualquier número real menos el valor de y = 2.

Por lo tanto:

Im(f)=\mathbb{R}\neq 2

Raíces

Usando Mathematics

Por lo tanto

x=-\frac{1}{6}

es la única raíz de la función f.

Ordenada al origen

f(0)

Usando Mathematics

La ordenada al origen de la función f es -1

Conjunto de positividad

Está formado por los valores de x donde la función es positiva.

Usando Matemathics y comprobando con la representación gráfica.

Por lo tanto:

C^+=(-\infty,-\frac{1}{6})(\frac{1}{3},+\infty)

Conjunto de negatividad

Está formado por los valores de x donde la función es negativa.

Usando Matemathics y comprobando con la representación gráfica.

Por lo tanto:

C^-=(-\frac{1}{6},\frac{1}{3})

Intervalo de crecimiento

No tiene.

Intervalo de decrecimiento

La función decrece en todo su dominio.

Máximo

No tiene.

Mínimo

No tiene.

c) Encuentre los siguientes límites

Lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)

Usando Mathematics

Lim_{x\rightarrow 2^+}f(x)

Al ser continua en x=2 el límite anterior es f(2).

Usando Mathematics

 Posted by roberprof at 18:28

Análisis de funciones – Ejercitación

 Análisis Matemático  1 Response »
abr 192011
 

Analicen la función:

f(x)= \displaystyle \frac{x^2+7x+3}{x^2}

Intentemos obtener una gráfica adecuada para analizar la función.

Debemos ajustar el dominio del gráfico para observar las características más importantes de la función, en este caso el mínimo.

Dominio

El único caso en que la función no estaría definida en dónde se anula el denominador.

x^2=0

x=0

Dom : R ≠0

 Posted by roberprof at 23:08

Derivador de funciones

 Análisis Matemático  No Responses »
abr 072011
 

Introducir la función f(x) a derivar:

Ejemplo:

f(x)=3x^4-2x^3

f'(x)=12x^3-6x

 Posted by roberprof at 23:46
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