- Demostrar que los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes a partir de la siguiente propiedad: “los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes”.
- Dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, un ángulo interno mide 40°. Dibujen la situación.
- Encuentren el centro de la siguiente circunferencia.
- Dados los puntos A, B y C. Construyan una circunferencia que pase por los tres puntos. (Ayuda: encuentren el centro de la circunferencia)
- Construyan un triángulo rectángulo, ¿dónde se encuentra el ortocentro?
- Puede el incentro ser un punto exterior al triángulo, elabore una justificación de su respuesta.
- El baricentro de un triángulo coincide con el circuncentro, ¿qué particularidades tiene el triángulo?
- Encuentren el valor de x:
a)
b)
c) 
ago 252009
Todos los ángulos inscriptos que abarcan el mismo arco son congruentes.
Es claro que todos los ángulos abarcan el mismo arco, AB. El central correspondiente en todos los casos es AOB. Por lo tanto, todos los ángulos tienen una amplitud igual a la mitad de AOB y por lo tanto miden lo mismo.
Trabajo de investigación de las propiedades de los ángulos inscriptos en una circunferencia, para realizar con un programa de geometrá como Geogebra o Cabri.
Extraído de Educabri
Los ángulos inscriptos en una circunferencia tienen muchas aplicaciones en geometría. En esta clase veremos qué es un ángulo inscipto en una circunferencia, sus propiedades y algunas de sus aplicaciones.
Actividades
1-1 Ángulo inscripto
- Construí una circunferencia S con centro O y radio OR.
- Marcá tres puntos A, B y C en la circunferencia.
- Creá los segmentos AB y BC. Marcá el ángulo ABC y medilo.
- Mové el punto B por el arco AC, ¿Qué pasa con la medida del ángulo ABC?
- Colocá ahora B del otro lado del arco AC.
- ¿Qué pasó con la medida de ABC? ¿Qué relación encontrás entre las dos medidas?
Sugerencia: mové los puntos A o C y armá una tablita con los pares de valores que vas obteniendo para distintas posiciones de A y C. - ¿Cuánto mide el ángulo ABC cuando AC es un diámetro de la circunferencia?
El ángulo ABC se llama inscripto en la circunferencia S. Observamos que ABC es constante mientras B se mantenga en el mismo arco.
1-2 Ángulo central
- En la figura anterior, creá los segmentos AO y OC. Marcá el ángulo AOC y medilo.
- Qué relación hay entre la medida de ABC y la de AOC. De nuevo, te sugerimos que hagas una tablita con distintos pares de valores de ABC y AOC.
El ángulo AOC se llama ángulo central. Observamos que AOC es el doble de ABC.
1-3 Ángulo inscripto en una semicircunferencia
- ¿Cuánto mide AOC cuando AC es diámetro?
En este caso, decimos que el ángulo ABC esta inscripto en una semicircunferencia. - Demostrá lo que observaste en el item 7 de la actividad 1-1.
Sugerencia: usá la actividad 1-2.
Problemas
1. Demostrar las propiedades enunciadas en las actividades 1-1 y 1-2.
Sugerencia: observando los triángulos isósceles de la figura, demostrar primero que ABC mide la mitad de AOC. Deducir que ABC es constante.
Ahora podemos resolver con más generalidad:
2. ¿Qué propiedad deben cumplir los ángulos de un cuadrilátero para que exista una circunferencia circunscripta a él?
3. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Sea M el punto medio de BC. Probar que MA = MB = MC.
4. Sea S una circunferencia y P un punto exterior a ella. Construir las rectas tangentes a la circunferencia, que pasan por P.
Teorema:
Si un ángulo inscripto y un ángulo central, abarcan el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscripto.
Demostración:
La demostración la vamos a dividir en tres partes.
1ra Parte: un lado del ángulo inscripto pasa por el centro C de la circunferencia.
El triángulo OBC es isósceles: los lados CO y CB son congruentes por ser radios de la circunferencia.
Los ángulos COB y CBO son congruentes: por ser los ángulos opuestos a los lados congruentes del triángulos isósceles.
Si llamamos x al ángulo OCB tenemos que:
Por ser los ángulos interiores del triánguo OCB.
Por ser ángulos adyacentes.
Entonces tenemos que 
y 
son suplementos del ángulo x, por lo tanto son iguales.
Es decir: 
2da Parte: el centro se encuentra dentro del ángulo inscripto.
Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.
En el gráfico vemos que 
El ángulo ACD es un ángulo central que abarca el arco AD y su correspondiente inscripto es AOC. Por lo tanto: 
El ángulo DCB es un ángulo central que abarca el arco DB y su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: 
En consecuencia:
Por lo tanto:
3ra Parte: el centro se encuentra fuera del ángulo inscripto.
Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.
En el gráfico observamos:
El ángulo DCB es central y abarca el arco DB, su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto:
El ángulo DCA es central y abarca el arco DA, su correspondiente inscripot es COA. Por lo tanto: 
En consecuencia:
Por lo tanto:
