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Geometría Analítica: Ejercicios

11 Sep

Publicado por roberprof en 6to Año

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Rectas en el plano

Encuentren la ecuación de una recta que pasa por el punto (-1,-4) y por el punto de intersección de las rectas:
$-2x+5y-23=0$
y
$x=8-6t$ $y=1+t$
Dado el vector v de origen (2,1) y componentes (2,3). Dibujen 2v, 3v y -v.
¿Qué recta definen? ¿Cuál sería su ecuación?
¿Pertenece el punto P(0,3) a la recta determinanada por el vector v(-5,1) y el punto O(-3,1)?
¿Pertenece el punto P(0,3) a la recta determinanada por el vector v(-5,1) y el punto O(5,2)?
¿Cuál es la pendiente y el vector dirección de las siguientes rectas?
a) $y=2x-5$
b) $\frac{x-6}{-2}=\frac{y+1}{4}$
c) $2x+3y-2=0$
¿Cuál de las siguientes rectas pasa por el punto (-1,4)?
a) x+y-3=0
b) y=4x-1
c) x+y=3
d) $\frac{x}{-1}+\frac{y}{4}=2$
¿Cuánto vale n en la ecuación ax+by=n, sabiendo que las rectas determinadas por la ecuación pasan por el origen?
Escriban la ecuación paramétrica de la recta $3x+2y-1=0$ .
Hallen el punto de intersección de las siguientes rectas:
$x=2+t$ $y=-1+3t$
y
$y=4x-3$
Expresen la ecuación de la siguiente recta en la forma vectorial, paramétrica, general y explícita.
$\frac{x-3}{4}=\frac{y+1}{2}$
Escriban la ecuación de una recta que pasa por el punto (0,0) y es paralela a la recta:
a) $(x,y)=(2,-3)+t(2,3)$
b) $y=-3x-5$
Una recta pasa por el origen y por el punto (-5,3), ¿cuál puede ser una de sus ecuaciones vectoriales?
Escriban dos vectores que se encuentren en la recta $3x+2y=0$ .
Hallen la ecuación de la mediatriz al segmento de extremos A=(-2,5) y B=(2,1).
¿Cuáles son la ecuaciones explícitas de las rectas bisectrices a los cuadrantes en un plano coordenado?
¿Qué ángulo forma con el eje positivo de las x, la recta x-2y+1=0?
Un triángulo ABC es equilátero tal que AC=BC=10, el punto A tiene coordenadas (-2,4) y el punto B (3,4), ¿cuáles son las posibles coordenadas de C?
Escriban las ecuaciones generales y vectoriales de los ejes coordenados.
¿El punto (2,3) es intersección de las rectas x=2 e y=3?
¿Cuál es la distancia del punto (2,3) a la recta 2x-y+3=0?

Cónicas

Escriban la ecuación de una circunferencia de centro C=(-3,5) y radio r=4.
a) Represéntenla gráficamente.
b) Hallen los puntos de intersección con los ejes, analíticamente.
Escriban la ecuación general de la circunferencia de centro C=(1,3) y radio r=2.
Hallen el centro y el radio de la circunferencia:
$x^2+y^2-8x+2y+10=0$
Hallen los puntos de intersección de la circunferencia
$x^2+y^2=4$
con la recta
$y+3x-1=0$
Representen gráficamente la circunferencia y la recta.
Hallen la ecuación de la circunferencia de centro (4,-2) que es tangente a la recta $y=x+2$
Grafiquen y encuentren los elementos principales de la elipse dada por la ecuación
$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$
Escriban la ecuación de la elipse que tiene focos en (2,0) y (-2,0) y uno de sus vértices en (3,0)?
Encuentren los puntos de intersección entre la elipse
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$
y la recta
$x-y-2=$
¿Cuáles son las coordenadas de los focos en la elipse $3x^2+4y^2=12$ ?
Escriban la ecuación de una elipse que tiene focos en (0,2) y (0,-2) y pasa por el punto (3,2).
Grafiquen y encuentren los elementos de la hipérbola dada por la ecuación:
$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
Encuentren la ecuación de la hipérbola del gráfico:
Una hipérbola tiene asíntotas cuyas ecuaciones son $y=\pm 2x$ y vértice en el punto (3,0). Encuentren la ecuación y represéntela gráficamente.
Grafiquen la parábola
a) $y^2=2x$
b) $x^2=-y$
Encuentren foco y directriz en las parábolas del punto anterior.
¿Cuáles serán las coordenadas de foco y la ecuación de la directriz en la parábola dada por la ecuación $y=x^2-1$
¿Qué se obtiene de la intersección de un cono y plano perpendicular el eje del cono?
El cono de la figura tiene ecuación $z^2=x^2+y^2$ su eje es el eje z, y la recta directriz forma un ángulo de 45° con el eje z. (Creado en Maple 13)
¿Qué se obtiene de la intersección del cono anterior con un plano que pase por los ejes x y z?
¿Qué ángulo debe formar un plano con el eje del cono del ejercicio 17 para que la intersección entre el plano y el cono de una parábola? Si ese palno pasa por el vértice del cono, ¿en qué se degenera?
La elipse y la hipérbola tienen dos focos, en la circunferencia los focos coinciden para formar el centro, la parábola tiene un foco.
Si las cónicas fueran un mismo objeto matemático miradas desde puntos de vistas diferentes, ¿dónde está el segundo foco de la parábola?

cónicas, circunferencia, ecuaciones de la recta, elipse, hipérbola, parábola, recta

Cónicas a partir de tangentes

10 Sep

Publicado por roberprof en 6to Año

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Construcción de las cónicas a partir de las rectas tangentes a la curvas.

http://www.roberprof.com/geogebra/contang.html

¿Dónde debería estar ubicado el punto B para obtener una elipse?

¿Y para obtener una circunferencia?

cónicas, Geometría Analítica

Hipérbola: elementos

8 Sep

Publicado por roberprof en 6to Año

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Una hipérbola de ecuación:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

tiene el siguiente gráfico:

Sus elementos son:

Vértices: A y A’

$A(a,0)$ $A'(-a,0)$

Covértices: B y B’

$B(0,b)$ $B'(0,-b)$

Eje transversal: recta que contiene los focos

$AA'$

Eje conjugado: recta que contiene a los covértices

$BB'$

Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado

$O$

Asíntotas: recta a las que la curva se acerca cada vez más en los extremos sin tener intersección.

$y=\pm \frac{b}{a}x$

asíntotas, cónicas, hipérbola, vértices

Hipérbola

8 Sep

Publicado por roberprof en 6to Año

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Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la diferencia positiva entre las distancias del punto a un par de puntos fijos llamados focos es igual a una constante.

Si ubicamos los focos en el eje x tenemos

Según la definición

$|d(p,F)-d(P,F')|=constante$

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a$

$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\pm 2a$

$x^2-2xc+c^2+y^2=x^2+2xc+c^2+y^2 \pm 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+4a^2$

$\pm 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4xc$

$\pm \sqrt{(x+c)^2+y^2}=a+\frac{cx}{a}$

$x^2+2xc+c^2+y^2=a^2+2xc+\frac{c^2x^2}{a^2}$

$\frac{c^2-a ^2}{a^2}x^2-y^2=c^2-a^2$

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$

Como c>a

$c^2-a^2>0$

Llamando

$b^2=c^2-a^2$

tenemos

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Observemos que

$c^2=a^2+b^2$

Entonces tiene sentido el siguiente gráfico

El rectángulo en líneas de puntos tiene lados de longitud 2a y 2b. Las diagonales miden 2c.

Teorema:

Un punto (x,y) están en la hipérbola con vértices (a,0) y (-a,0) y focos en (c,0) y (-c,0) si y sólo si satisfacen la ecuación:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

donde

$b^2=c^2-a^2$

cónicas, ecuación de la hipérbola, hipérbola

Elipse

8 Sep

Publicado por roberprof en 6to Año

1 comentario

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano, tales que la suma de la distancias de los puntos a un par de puntos fijos distintos llamados focos es una constante fija.

Para comenzar pongamos los focos sobre el eje x:

$F=(c,0)$ $F'=(-c,0)$