El máximo común divisor entres dos o más números es el mayor de los divisores comunes a dichos números.

Ejemplo: Cálculo del mcd ( 24, 36).

Haciendo una lista de divisores

Divisores de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Los divisores comunes son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, pero el mayor de ellos es 12. Por lo tanto mcd ( 24, 36) = 12.

Con la factorización

Factorizamos los números 24 y 36.

24 = 2.2.2.3
36 = 2.2.3.3

El producto que usaremos para encontrar el mcd será 2.2.3 = 12, por lo tanto mcd ( 24, 36) = 2.2.3 = 12

¿Por qué no va un 2 o un 3 más en el producto para el cálculo del mcd ?

Si en el producto tuvieramos 2.2.2 eso significaría que 8, que es igual a 2.2.2,  es divisor de ambos números, pero eso es falso, ya que 8 es divisor de 24 y no de 36. También se nota en la factorización de los números que 2.2.2 sólo divide a 24.

Con el algoritmo de Euclides

Para comenzar a usar el algoritmo de Euclides debemos realizar una división entera entre 24 y 36.

36 / 24 = 1 con resto 12

Como el resto de la división no es 12 debemos seguir dividiendo, pero ahora lo hacemos con 24 y el resto que obtuvimos.

24 / 12 = 2 con resto 0

Como el resto es o, terminó el algoritmo y el mcd es el divisor de la última división, o sea 12. Por lo tanto, mcd ( 24, 36) = 12.

 
¿Cuándo un número natural es divisor de otro número natural?
Un número natural, supongamos 8 es divisor de otro número natural, que puede
ser 24, cuando es posible encontrar un número natural que multiplicado por 8 de
24, ese otro número es 3 .
Resumiendo: 8 es divisor de 24 porque 8 . 3 = 24También habría que observar que 3
es divisor de 24.
Otra manera de comprobar si 8 es divisor de 24, es realizando una división, que la
podemos realizar dado que los dos números son naturales.
24 : 8 = 3 y como la división es exacta podemos asegurar que 8 es divisor de 24.
Recuerden que no se puede dividir por cero y éste método no nos dice nada si
interviene el cero como divisor en el análisis.
¿Cómo podemos encontrar todos los divisores de un número?
Para encontrar todos los divisores de un número, por ejemplo 24, podemos usar la
definición de divisor, y asociar los mismos de a dos, de tal manera que el producto
de ellos de 24.
También para ser ordenados empezamos por 1.
1 . 24 = 24
2 . 12 = 24
La disposición anterior me permite deducir que no habrá divisores de 24 entre 12 y
24, ya que su asociado tendría que estar entre 1 y 2 y no sería un número natural.
Eso significa que nuestro análisis debería seguir con los números entre 2 y 12.
Siguiendo la lista tenemos:
3 . 8 = 24
4 . 6 = 24
El único número que nos queda por analizar es 5, pero 5 no es divisor de 24.
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

¿Cuándo un número natural es divisor de otro número natural?

Un número natural, supongamos 8 es divisor de otro número natural, que puede ser 24, cuando es posible encontrar un número natural que multiplicado por 8 de 24, ese otro número es 3 .

Resumiendo: 8 es divisor de 24 porque 8 . 3 = 24.

También habría que observar que 3 es divisor de 24.

Otra manera de comprobar si 8 es divisor de 24, es realizando una división, que la podemos realizar dado que los dos números son naturales.

24 : 8 = 3 y como la división es exacta podemos asegurar que 8 es divisor de 24.

Recuerden que no se puede dividir por cero y éste método no nos dice nada si interviene el cero como divisor en el análisis.

¿Cómo podemos encontrar todos los divisores de un número?

Para encontrar todos los divisores de un número, por ejemplo 24, podemos usar la definición de divisor, y asociar los mismos de a dos, de tal manera que el producto de ellos de 24.

También para ser ordenados empezamos por 1.

1 . 24 = 24

2 . 12 = 24

La disposición anterior me permite deducir que no habrá divisores de 24 entre 12 y 24, ya que su asociado tendría que estar entre 1 y 2 y no sería un número natural.

Eso significa que nuestro análisis debería seguir con los números entre 2 y 12.

Siguiendo la lista tenemos:

3 . 8 = 24

4 . 6 = 24

El único número que nos queda por analizar es 5, pero 5 no es divisor de 24.

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

 

Al trabajar con números naturales podemos realizar las siguientes afirmaciones:

Si tenemos que 2.3 = 6

  • 6 es múltiplo de 2 y 3.
  • 2 y 3 son divisores de 6.

También podemos decir que:

  • 15 es múltiplo de 3, porque 3.5 = 15
  • 4 es divisor de 32,  porque 4.8 = 32

¿Por qué 36 es múltiplo de 12?

  • Porque 12.3 = 36

¿Porqué 36 no es múltiplo de 8?

  • Porque no existe un número natural que multiplicado por 8 de 36. (8.4= 32 y 8.5 = 40)

¿Por qué 7 es divisor de 35?

  • Porque 7.5 = 35

¿Porqué 4 no es divisor de 22?

  • Porque no existe un número natural que multiplicado por 4 de 22.

Definición:

Si a, b y n son números naturales y a.b = n, entonces:

  • n es múltiplo de a y múltiplo de b.
  • a y b son divisores de n.

Propiedades:

Sabiendo que n representa cualquier número natural y al cero, tenemos que:

Si 1.n = n

  • Cualquier número natural es múltiplo de 1.
  • Cualquier número natural es múltiplo de sí mismo.
  • 1 es divisor de cualquier número natural.
  • Cualquier número natural es divisor de sí mismo.

Si 0.n=0

  • 0 es múltiplo de 0.
  • 0 es múltiplo de cualquier número natural.
  • 0 es divisor de 0.
  • Cualqueir número natural es divisor de 0.
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