¿Cómo encontrar el múltiplo común menor y el divisor común mayor? ¿Cómo usar la factorización para ello?
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El máximo común divisor entres dos o más números es el mayor de los divisores comunes a dichos números.
Ejemplo: Cálculo del mcd ( 24, 36).
Haciendo una lista de divisores
Divisores de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Los divisores comunes son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, pero el mayor de ellos es 12. Por lo tanto mcd ( 24, 36) = 12.
Con la factorización
Factorizamos los números 24 y 36.
24 = 2.2.2.3
36 = 2.2.3.3
El producto que usaremos para encontrar el mcd será 2.2.3 = 12, por lo tanto mcd ( 24, 36) = 2.2.3 = 12
¿Por qué no va un 2 o un 3 más en el producto para el cálculo del mcd ?
Si en el producto tuvieramos 2.2.2 eso significaría que 8, que es igual a 2.2.2, es divisor de ambos números, pero eso es falso, ya que 8 es divisor de 24 y no de 36. También se nota en la factorización de los números que 2.2.2 sólo divide a 24.
Con el algoritmo de Euclides
Para comenzar a usar el algoritmo de Euclides debemos realizar una división entera entre 24 y 36.
36 / 24 = 1 con resto 12
Como el resto de la división no es 12 debemos seguir dividiendo, pero ahora lo hacemos con 24 y el resto que obtuvimos.
24 / 12 = 2 con resto 0
Como el resto es o, terminó el algoritmo y el mcd es el divisor de la última división, o sea 12. Por lo tanto, mcd ( 24, 36) = 12.
Criterio del 2
Un número es divisible por 2 si es par.
Ejemplo: 2, 56, 128, 320 son divisibles (múltiplos) por 2.
Criterio del 3
Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
Ejemplo: 252 es múltiplo de 3 dado que 2 + 5 + 2 = 9 y 9 es múltiplo de 3.
Criterio de 4
Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son múltiplo de 4.
Ejemplo: 12.348 es múltiplo de 4, porque 48 es múltiplo de 4.
Criterio del 5
Un número es divisible por 5 si termina en cero o en cinco.
Ejemplo: 34.565 y 7.430 son múltiplos de 5.
Criterio del 6
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y es divisible por 3.
Ejemplo: 342 es múltiplo de 6, porque es par y la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (3 + 4 + 2 = 9).
Criterio del 7
Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.
343
34 – 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7
105
10 – 5 · 2 = 0
2261
226 – 1 · 2 = 224
Volvemos a repetir el proceso con 224.
22 – 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.
Criterio del 8
Un número es divisible por 8 si la mitad de la mitad de sus últimas tres cifras es par.
Ejemplo: 128 es múltiplo de 8, porque la mitad de la mitad de 128 que es 32 es par.
Criterio del 9
Un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.
Ejemplo: 783 es múltiplo de 9, porque la suma de sus cifras es un múltiplo de 9 (7 + 8 + 3 = 18).
Criterio del 10
Un número es divisible por 10 cuando termina en cero.
Ejemplo: 340 y 1200 son múltiplos de 10 porque terminan en cero.
¿Cuándo un número natural es divisor de otro número natural?
Un número natural, supongamos 8 es divisor de otro número natural, que puede ser 24, cuando es posible encontrar un número natural que multiplicado por 8 de 24, ese otro número es 3 .
Resumiendo: 8 es divisor de 24 porque 8 . 3 = 24.
También habría que observar que 3 es divisor de 24.
Otra manera de comprobar si 8 es divisor de 24, es realizando una división, que la podemos realizar dado que los dos números son naturales.
24 : 8 = 3 y como la división es exacta podemos asegurar que 8 es divisor de 24.
Recuerden que no se puede dividir por cero y éste método no nos dice nada si interviene el cero como divisor en el análisis.
¿Cómo podemos encontrar todos los divisores de un número?
Para encontrar todos los divisores de un número, por ejemplo 24, podemos usar la definición de divisor, y asociar los mismos de a dos, de tal manera que el producto de ellos de 24.
También para ser ordenados empezamos por 1.
1 . 24 = 24
2 . 12 = 24
La disposición anterior me permite deducir que no habrá divisores de 24 entre 12 y 24, ya que su asociado tendría que estar entre 1 y 2 y no sería un número natural.
Eso significa que nuestro análisis debería seguir con los números entre 2 y 12.
Siguiendo la lista tenemos:
3 . 8 = 24
4 . 6 = 24
El único número que nos queda por analizar es 5, pero 5 no es divisor de 24.
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
1) Hallen todos los divisores de cada uno de los siguientes números.
a) 35
b) 66
c) 42
d) 100
2) ¿Cuáles de los siguientes números tienen un número impar de divisores?
28 9 54 36 12 81 77 53 64
3) Propongan otros números que tengan una cantidad impar de divisores.
4) Representen todos los divisores de cada número de la actividad 2 con un esquema que resalte los pares de divisores asociados.
5) ¿Pueden conjeturar observando los esquemas realizados, a partir de que número se comenzarían a repetir factores si buscáramos todos los divisores de 3364? ¿Y si buscáramos todos los divisores de 798?
