Ecuación

1er Año, Ecuaciones 3 Responses »

feb 222010

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las cuales por lo menos debe existir una incógnita.

Las expresiones deben contener operaciones matemáticas con números e incógnitas.

La o las incógnitas se representan con letras, normalmente se utiliza un letra x pero no es una regla.

Ejemplos de ecuaciones:

$3x-47=13$
$10=4m-m+18$
$4(a-5)=6a-30$
$2x^2-1=49$
$2=4p+p^3$
$1=2-\frac{1}{b}$
$\sqrt{x-3}=7$
$x+y=20$

Hagamos algunas consideraciones acerca de los ejemplos:

Las ecuaciones 1 a 7 tienen una incógnita, la ecuación 8 tiene dos incógnitas.
Las ecuaciones 2, 3 y 5 tienen una incógnita que aparece más de una vez en la ecuación, el valor de la incógnita es el mismo en toda la ecuación.
Las tres primeras ecuaciones y la última reciben el nombre de ecuaciones lineales, las incógnitas solo intervienen en las operaciones de suma, resta y multiplicación por un número.
La ecuación 4 recibe el nombre de ecuación cuadrática y la 5 el nombre de ecuación cúbica, los nombres se derivan de los exponentes de las incógnitas.
La ecuación 6 recibe el nombre de ecuación racional, dado que la incógnita aparece en el denominador de una fracción o también podríamos decir como divisor en una división.
La ecuación 7 recibe el nombre de ecuación irracional, dado que la incógnita se encuentra bajo el signo radical.

Respondan:

¿Por qué la expresión $2x+5$ no es una ecuación?

¿Por qué la expresión $2+8-3=2.3+1$ tampoco es una ecuación?

Ver también:

Solución de una ecuación

Resolución de una ecuación

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Ecuaciones con balanzas y pesas

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feb 212010

Supongamos que tenemos la siguiente balanza con platillos:

Algunas consideraciones gráficas:

El dibujo tiene solo dos dimensiones por una cuestión práctica y para trabajar de manera sencilla.
La horizontalidad de los platillos en el mismo nivel representará el equilibrio, es decir los objetos del platillo izquierdo pesarán lo mismo que los del derecho.
Los círculos representan pesas.
El cuadrado rojo representa una caja.

Las pesas verdes tienen el mismo peso, en este ejemplo 1kg.

Las pesas anaranjadas tienen el mismo peso, en este ejemplo 3 kg.

El peso de la caja roja es desconocido.

Pregunta: ¿Cuánto pesa la caja roja?

Si nos tomamos un minuto para razonar tendremos la respuesta de forma inmediata.

¿Cómo podríamos ayudar a alguien más pequeño a encontrar el peso de la caja roja?

Quizás podemos darles la siguiente ayuda:

Si sacamos un pesa de un platillo la balanza se desequilibra.
Para lograr nuevamente el equilibrio debemos sacar una pesa del mismo color del otro platillo.
Hay que repetir los pasos hasta que en el platillo de la izquierda quede solo la caja roja.
El peso de la caja roja será la suma de las pesos (de las pesas) que se encuentran en el platillo de derecha.

¿Es suficiente la ayuda que dimos? ¿O es demasiada?

Después de sacar tres pesas verdes y una anaranjada de cada platillo nos queda:

Ahora parece fácil responder cuando pesa la caja roja.

La caja roja pesa 4 Kg.

¿Cómo podríamos escribir en símbolos nuestra forma de razonar sin tener que dibujar las balanzas?

Parece que una opción es traducir cada paso en nuestro razonamiento con símbolos matemáticos (números, operaciones, igualdad, etc.).

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De las balanzas y las pesas al lenguaje simbólico

1er Año, Ecuaciones No Responses »

feb 212010

La situación que habíamos presentado en ecuaciones con balanzas y pesas, era la siguiente:

Balanza y ecuaciones

¿Cómo expresar la situación, con cada uno de sus pasos, de manera simbólica?

Primero tendríamos que nombrar los objetos que aparecen con símbolos que los representen.

Veamos que tenemos en el platillo de la izquierda: la pesa desconocida, tres pesas verdes y una anaranjada; en el platillo de la derecha: dos pesas anaranjadas y cuatros pesas verdes.

Pero que característica de las pesas nos interesa, no es la forma, no es el color, es el peso y todo lo que tenemos a la izquierda pesa igual que lo que está a la derecha.

Para saber el peso total de un platillo tenemos que sumar los pesas de cada una de las pesas, es decir, tenemos que usar el símbolo “+”.

El equilibrio del platillo representa la igualdad de pesos, representaremos dicho equilibrio con el signo “=”.

Veamos como nos queda la situación inicial en símbolos:

$\bold{x+3+1+1+1=3+3+1+1+1+1}$

Resolviendo las sumas simplificamos la expresión y nos queda:

$\bold{x+6=10}$

Veamos la presentación teniendo en cuenta cada movimiento que hacemos en las pesas como se traduce en símbolos.

Balanza y ecuaciones 2

Todavía nos falta ordenar todo lo que escribimos en símbolos, podemos resumirlo así:

$\bold{x+3+1+1+1=3+3+1+1+1+1}$

$\bold{x+6=10}$

$\bold{x+6-3=10-3}$

$\bold{x+3=7}$

$\bold{x+3-1=7-1}$

$\bold{x+2=6}$

$\bold{x+2-1=6-1}$

$\bold{x+1=5}$

$\bold{x+1-1=5-1}$

$\bold{x=4}$

Podemos aún ser muchos más claros y dejar la expresión simbólica más simple.

$\bold{x+6=10}$

$\bold{x+6-6=10-6}$

$\bold{x=4}$

Antes de trabajar solos pueden ver otro ejemplo: http://www.roberprof.com/2010/03/01/de-las-balanzas-y-las-pesas-a-las-ecuaciones

Ecuaciones y problemas geométricos

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jun 102009

Planteen la ecuación correspondiente a este enunciado: “Hallar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 21 cm”. Resuelvan la ecuación.

Solución:

Un triángulo equilátero tiene todos sus lados iguales y el perímetro de un triángulo es la suma de los tres lados del mismo, entonces si llamamos x a la longitud de un lado del triángulo podemos escribir:

x + x + x = 21 cm

3x = 21 cm

x = 7 cm

Rta: Cada lado mide 7 cm

Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide la mitad de lo que mide el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Solución:

Hay que recordar dos cosas para comenzar a escribir la ecuación que permite resolver el problema: un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto cuya amplitud es de 90° y que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre 180°.

Decir que un ángulo mide la mitad de otro es equivalente a decir que el segundo mide el doble que el primero.

Con esa información podemos escribir:

Ángulo 1 + Ángulo 2 + Ángulo 3 = 180°

x + 2x + 90° = 180°

3x + 90° = 180°

3x = 90°

x = 30°

Rta: Un ángulo mide 30° y el otro 60°.

Planteen la ecuación correspondiente a este enunciado: “Hallar el lado de un triángulo equilátero cuyo perímetro es de 21 cm”. Resuelvan la ecuación.

Solución:

x + x + x = 21 cm

3x = 21 cm

x = 7 cm

Rta: Cada lado mide 7 cm

Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide la mitad de lo que mide el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo?

Solución:

Decir que un ángulo mide la mitad de otro es equivalente a decir que el segundo mide el doble que el primero.

Con esa información podemos escribir:

Ángulo 1 + Ángulo 2 + Ángulo 3 = 180°

x + 2x + 90° = 180°

3x + 90° = 180°

3x = 90°

x = 30°

Rta: Un ángulo mide 30° y el otro 60°.

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Resolución de una ecuación

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mar 052009

Resolver una ecuación es encontrar su solución.

Existen diversos métodos para la resolver una ecuación:

Por tanteo
Por aplicación de la propiedad uniforme
Por pasaje de términos

Por tanteo

Consiste en ir probando distintas soluciones hasta dar con la que corresponde. Por ejemplo:

$125=4m+21$

Supongamos que la solución es $m=10$ , reemplazamos $m$ en el miembro de la izquierda y nos queda:
$4m+21=4.10+21=61$ como estamos lejos de 125, aumento el valor de m, supongamos ahora $m=20$
$4m+21=4.20+21=101$ un poco más cerca, ahora hacemos $m=30$
$4m+21=4.30+21=141$ pero esta vez nos pasamos, entonces no quedamos con $m=25$
$4m+21=4.25+21=121$ muy cerca, hacemos $m=26$
$4m+21=4.26+21=125$ por fin, la solución es $m=26$