Matemática y algo más…
Entradas etiquetadas con Euclides
Proposición 3
4 Abr
Proposición 3:
Restar al mayor de dos segmentos dado, uno igual al menor.
- Dados dos segmentos, queremos restarle al mayor de ellos AB el menor CD.
- Construimos una circunferencia con centro A y radio igual al segmento CD.
- Llamamos E al punto de intersección del segmento AB con la circunferencia con centro A y radio CD.
- AE = CD
- Por lo tando EB = AB – CD.
Quod erat faciendum.
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Proposición 2
4 Abr
Proposición 2:
Dibujar en un punto dado una recta igual a una recta dada.
- Dado el segmento AB y el punto C, queremos construir el segmento CD de tal manera que AB = CD.
- Construimos el segmento AC y el triángulo equilátero ACE.
- Construimos la circunferencia con centro en A que pasa por B.
- Construimos las semirrectas DA y DC.
- Llamamos F al punto de intersección de la semirrecta DA con la circunferencia de centro A que pasa por B.
- Construimos la circunferencia de centro E que pasa por F.
- Llamamos D al punto de intersección de la semirrecta DC con la circunferencia de centro E que pasa por F.
- Construimos el segmento DC.
- AB = AF por ser A el centro de la circunferencia que pasa por B y F.
- EF = ED por ser E el centro de la circunferencia que pasa por F y D.
- EA = EC por ser lados de un triángulo equilátero.
- Entonces, AF = CD, dado que EF = EA + AF y ED = EC + CD.
- Finalmente AB = AF = CD.
- AB = CD
Quod erat faciendum.
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Proposición 1
4 Abr
Proposición 1:
Construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.
- Dado el segmento AB, construimos una circunferencia con centro en A que pase por el punto B.
- Construimos la circunferencia con centro en B que pase por A.
- Llamamos C a uno de los puntos de intersección de las circunferencias.
- Cómo A es el centro de la circunferencia AB = AC.
- Cómo B es el centro de la otra circunferencia BA = BC.
- AB = BA
- Por lo tanto, AB = BC = CA y el triángulo ABC es equilátero.
Quod erat faciendum.
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Axioma de las paralelas (Axioma de Euclides) III
6 Ene
La introducción de este axioma simplifica enormemente los principios fundamentales de la geometría y facilita no en un grado menor su desarrollo.
Axioma III
En un plano α, dados una recta a y un punto A, que no pertenece a la recta. Existe una y solo una recta que pasa por el punto A y no intersecta a la recta a. Esta recta es llamada paralela a la recta a que pasa por A.
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Este axioma de las paralelas contiene dos afirmaciones. La primera es que en el plano α, hay siempre una recta que pasa por A y no intersecta a la recta a. La segunda es que sólo hay una.
Teorema 8:
Si dos rectas a y b, de un plano no tiene intersección con una tercera recta c del mismo plano, entonces entre ellas tampoco hay intersección.
El axioma de las paralelas es un axioma plano.
Definiciones de Euclides
5 Ene
Definición 1:
Un punto es lo que no tiene partes.
Definición 2:
Una línea es una longitud sin anchura.
Definición 3:
Los extremos de una línea son puntos.
Definición 4:
Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.
Definición 5:
Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.
Definición 6:
Los extremos de una superficie son líneas.
Definición 7:
Una superficie plana es aquella superficie que yace por igual respecto de las líneas que están en ella.
Definición 8:
Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta.
Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.
Definición 10:
Cuando una línea recta que está sobre otra hace que los ángulos adyacentes sean iguales, cada uno de los ángulos es recto, y la recta que está sobre la otra se llama perpendicular a la otra recta.
Definición 11:
Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.
Definición 12:
Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto.
Definición 13:
Un límite es lo que es extremo de algo.
Definición 14:
Una figura es aquello que está contenido por cualquier límite o límites.
Definición 15:
Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.
Definición 16:
Y el punto se llama centro del círculo.
Definición 17:
Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.
Definición 18:
Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia cortada por él. El centro del semicírculo es el mismo que el del círculo.
Definición 19:
Figuras rectilíneas son aquellas que están comprendidas por líneas rectas, triláteras las comprendidas por tres, cuadriláteras las comprendidas por cuatro y multiláteras as comprendidas por más de cuatro líneas rectas.
Definición 20:
De los triángulos, el equilátero es el que tiene los tres lados iguales; isósceles el que tiene dos lados iguales y uno de desigual; y escaleno el que tiene los tres lados desiguales.
Definición 21:
De los triángulos, triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso y acutángulo el que tiene los tres ángulos agudos.
Definición 22:
De los cuadriláteros, cuadrado es el que tiene los lados iguales y los ángulos rectos; rectángulo el que es rectangular pero no equilátero; rombo el que es equilátero, pero no tiene los ángulos rectos; y romboide el que tiene los lados y los ángulos opuestos iguales, pero ni es equilátero ni tiene los ángulos rectos. Los otros cuadriláteros se llaman trapecios.
Definición 23:
Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.
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Euclides - Estatua en la Universidadde Oxford (Wikipedia)
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