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Parábola: foco y directriz

6to Año, Geometría Analítica No Responses »

sep 242009

Encuentren el foco y la directriz de la parábola dada por la ecuación $y^2=-2x$ .

Recordemos la ecuación estándar de la parábola.

$y^2=-4cx$

donde el foco está dado por las coordenadas $(-c,0)$

y la directriz por la ecuación $x=c$

Igualando las ecuaciones encontramos que:

$-4cx=-2x$

$4c=2$

$c=\frac{1}{2}$

Por lo tanto:

las coordenadas del foco son $(-\frac{1}{2},0)$

y la ecuación de la directriz es $x=\frac{1}{2}$

Elipse: elementos

6to Año, Geometría Analítica 12 Responses »

sep 082009

Una elipse con ecuación

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

tiene el siguiente gráfico

Podemos destacar los siguientes elementos:

Focos: F y F’

$F(c,0)$ $F'(-c,0)$

Vértices: A y A’

$A(a,0)$ $A'(-a,0)$

Eje mayor: Recta que pasa por los focos

$AA'$

Covértice: B y B’

$B(0,b)$ $B'(0,-b)$

Eje menor: Recta que pasa por los covértices

$BB'$

Centro: La intersección de los ejes

$O$

Distancia focal: distancia del centro a uno de los focos

$c=\sqrt{a^2-b^2}$

Parábola: ecuación

6to Año, Geometría Analítica 3 Responses »

sep 072009

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz, que no contiene al foco.

Imaginemos el foco en el punto $(0,c)$ y la directriz dada por la ecuación $x=-c$

De acuerdo con la definición

$\overline{PF}=\overline{PD}$

$\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+(y-y)^2}$

$(x-c)^2+y^2=(x+c)^2$

$x^2-2xc+c^2+y^2=x^2+2xc+c^2$

$y^2=4xc$ Ecuación de la parábola

Si un punto se encuentra sobre la parábola de foco (c,0) y directriz x=-c debe satisfacer la ecuación anterior. Además, como todos los pasos son reversibles podemos afirmar que cualquier punto que satisface la ecuación anterior se encuentra sobre la parábola.

Con un idéntico razonamiento:

Los puntos de una parábola de foco (-c,0) y directriz x=c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
$y^2=-4xc$
Los puntos de una parábola de foco (o,c) y directriz y=-c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
$x^2=4yc$
Los puntos de una parábola de foco (o,-c) y directriz y=c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
$x^2=-4yc$

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