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Parábola: foco y directriz

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sep 242009

Encuentren el foco y la directriz de la parábola dada por la ecuación $y^2=-2x$ .

Recordemos la ecuación estándar de la parábola.

$y^2=-4cx$

donde el foco está dado por las coordenadas $(-c,0)$

y la directriz por la ecuación $x=c$

Igualando las ecuaciones encontramos que:

$-4cx=-2x$

$4c=2$

$c=\frac{1}{2}$

Por lo tanto:

las coordenadas del foco son $(-\frac{1}{2},0)$

y la ecuación de la directriz es $x=\frac{1}{2}$

Cónicas a partir de tangentes

6to Año, Geometría Analítica 2 Responses »

sep 102009

Construcción de las cónicas a partir de las rectas tangentes a la curvas.

http://www.roberprof.com/geogebra/contang.html

¿Dónde debería estar ubicado el punto B para obtener una elipse?

¿Y para obtener una circunferencia?

Elipses: representaciones gráficas

6to Año, Geometría Analítica 1 Response »

sep 082009

Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

Con los datos de la ecuación podemos encontrar directamente los valores de a y b.

$a=\sqrt{25}=5$

$b=\sqrt{16}=4$

Con los valores de a y b podemos encontrar la distancia focal c.

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$

Por lo tanto la coordenadas de los focos son

$F(3,0)$ $F'(-3,0)$

Los vértices y los covértices tienen las siguientes coordenadas

$A(5,0)$ $A'(-5,0)$ $B(0,4)$ $B'(0,-4)$

El gráfico sería:

Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{10}=1$

De la gráfica obtenemos que

$a=\sqrt{4}=2$

$b=\sqrt{10}=3,1$

Pero cuando queremos encontrar la distancia focal c, nos encontramos con un problema

$c=\sqrt{4-10}=\sqrt{-6}$

El valor de c no es un número real.

El error surje debido a que en este caso los focos de la elipse se encuentran en el eje y, ¿cómo nos damos cuenta de eso?, si observamos los valores de a y b vemos que b es mayor, eso nos indica que el diámentro mayor se encuentra sobre el eje y, y en él, están los focos.

Como solucionamos nuestras cuentas, haciendo un cambio entre a y b. La ecuación que tendremos en cuenta será:

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

Entonces tenemos:

$a=\sqrt{10}=3,1$

$b=\sqrt{4}=2$

y la distancia focal será

$c=\sqrt{10-4}=\sqrt{6}=2,4$

Ahora hay que tener cuidado con las coordenadas:

Vértices:

$A(0;3,1)$ $A'(0;-3,1)$

Covértices:

$B(2,0)$ $B'(-2,0)$

Focos:

$F(0;2,4)$ $F'(0;-2,4)$

El gráfico sería:

Elipse: elementos

6to Año, Geometría Analítica 12 Responses »

sep 082009

Una elipse con ecuación

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

tiene el siguiente gráfico

Podemos destacar los siguientes elementos:

Focos: F y F’

$F(c,0)$ $F'(-c,0)$

Vértices: A y A’

$A(a,0)$ $A'(-a,0)$

Eje mayor: Recta que pasa por los focos

$AA'$

Covértice: B y B’

$B(0,b)$ $B'(0,-b)$

Eje menor: Recta que pasa por los covértices

$BB'$

Centro: La intersección de los ejes

$O$

Distancia focal: distancia del centro a uno de los focos

$c=\sqrt{a^2-b^2}$

Parábola: ecuación

6to Año, Geometría Analítica 3 Responses »

sep 072009

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz, que no contiene al foco.

Imaginemos el foco en el punto $(0,c)$ y la directriz dada por la ecuación $x=-c$

De acuerdo con la definición

$\overline{PF}=\overline{PD}$

$\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+(y-y)^2}$

$(x-c)^2+y^2=(x+c)^2$

$x^2-2xc+c^2+y^2=x^2+2xc+c^2$

$y^2=4xc$ Ecuación de la parábola

Si un punto se encuentra sobre la parábola de foco (c,0) y directriz x=-c debe satisfacer la ecuación anterior. Además, como todos los pasos son reversibles podemos afirmar que cualquier punto que satisface la ecuación anterior se encuentra sobre la parábola.

Con un idéntico razonamiento:

Los puntos de una parábola de foco (-c,0) y directriz x=c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
$y^2=-4xc$
Los puntos de una parábola de foco (o,c) y directriz y=-c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
$x^2=4yc$
Los puntos de una parábola de foco (o,-c) y directriz y=c, están unívocamente caracterizados por la ecuación:
$x^2=-4yc$