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Circunferencia

5 sep

Una circunferencia es el lugar geométricos de los puntos de un plano que equidistan de un punto llamado centro. A la distancia de los puntos al centro se la llama radio.

Llamemos C=(a,b) a las coordenadas del centro y sea P=(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia.

La distancia del punto P a C es igual a r (radio). Podemos escribir:

$d(P,C)=r$

$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ Ecuación de la circunferencia.

Observemos que el radio no puede ser negativo, de lo contrario la ecuación no tendía solución real.
Si el radio fuera cero, la circunferencia se degeneraría en un punto, el centro. (a,b) sería la única solución de la ecuación.
Como todos los pasos para hallar la ecuación son reversibles, podemos decir que todo punto que satisface la ecuación pertenece a la circunferencia.

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de una circunferencia de centro (2,-3) y radio 3.
$(x-2)^2+(y+3)^2=9$

¿Cuáles son los puntos de intersección de la circunferencia con los ejes coordenados?
Intersección con el eje y
$x=0$
Reemplazamos el valor de x en la ecuación de la circunferencia.
$(-2)^2+(y+3)^2=9$
$(y+3)^2=9-4$
$y=-3+\sqrt{5}$ o
$y=-3-\sqrt{5}$
Los puntos de intersección con el eje y son:
$(0;-0,76)$
$(0;-5,24)$
Intersección con el eje “x”
$y = 0$
Reemplazamos y por 0 en la ecuación de la circunferencia.
$(x-2)^2+(3)^2=9$
$(x-2)^2=9-9$
$x=2$
El punto de intersección con el eje x es $(2,0)$
$(2,0)$
Encontrar la intersección de la circunferencia con la recta y=x-3
Para encontrar la intersección de la circunferencia con la recta resolvemos el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de la circunferencia y la ecuación de la recta.
Resolvemos el sistema por sustitución.
$(x-2)^2+(x)^2=9$
$x^2-4x+4+x^2-9=0$
$2x^2-4x-5=0$

$x=\frac{4+\sqrt{16+40}}{4}=2,87$

o

$x=\frac{4-\sqrt{16+40}}{4}=-0,87$

Reemplazamos los valores obtenidos de x en la ecuación de la recta.
$y=-0,13$
o
$y=-3,87$
Los puntos de intersección son:
$(2,87;-0,13)$
$(-0,87;-3,87)$

Ejercicios:

Escribir la ecuación de una circunferencia con centro en (2,3) y radio 5.
Hallar los puntos de intersección de la circunferencia anterior con los ejes coordenados.
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2,-1) y tiene a los ejes como tangentes a la circunferencia.
Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene a los puntos (-2,4) y (2,3) como extremos de un diámetro.
Encontrar los puntos de intersección de $(x-4)^2+(y+1)^2=16$ y $2x+y-4=0$

Geometría Analítica

Ecuaciones de la recta – Ejercitación

18 ago

Publicado por roberprof en 6to Año

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1) Escriban la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que:

a) pasa por el punto (-4,3) y tiene como dirección al vector (5,-2)

b) pasa or el punto (-1,7) y tiene como dirección al vector (2,0)

c) pasa por los puntos (4,1) y (-2,2)

2) Grafiquen en un sistema coordenados las rectas anteriores.

3) ¿Cuáles son las pendientes de las rectas del punto 1?

4) Grafiquen la recta dada por la ecuación

$\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}$

¿Cuáles son los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados?

5) Hallen las ecuación general y la ecuación paramétrica de la recta del gráfico.

Dejen ideas y sugerencias de resolución en los comentarios.

ecuaciones de la recta, Geometría Analítica

Ecuación continua de la recta

18 ago

Publicado por roberprof en 6to Año

2 comentarios

Si en la forma paramétrica despejamos t en ambas ecuaciones obtenemos:

$t=\frac{x-2}{3}$

$t=\frac{y-3}{1}$

igualando las expresiones nos queda la ecuación continua de la recta:

$\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{1}$

En la ecuación continua desaparece el parámetro $t$ y queda una única ecuación.

En forma general podemos escribrir la ecuación continua de la siguiente manera:

$\frac{x-c}{u}=\frac{y-d}{v}$

donde (c,d) son las coordenadas de un punto en la recta y $(u,v)$ son las componentes de un vector sobre la recta.

Ejercitación:

A partir del siguiente gráfico obtengan la ecuación continua de la recta que pasa por los punto A y B.

ecuación continua, ecuaciones de la recta, Geometría, Geometría Analítica

Ecuación paramétrica de la recta

18 ago

Publicado por roberprof en 6to Año

1 comentario

A partir de la ecuación vectorial de una recta:

$(x,y)=(c,d)+t.(u,v)$

$(x,y)=(c,d)+(t.u,t.v)$

$(x,y)=(c+t.u,d+t.v)$

De donde obtenemos las siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones parámetricas de la recta.

$x=c+t.u$

$y=d+t.v$

en las cuales las coordenadas $x,y$ dependen de un mismo parámetro $t$ .

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Siguiendo con el ejemplo dado en la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas de la recta r serán:

$x=2+3t$

$y=3+1t$

observemos que los términos de las ecuaciones corresponden al punto $(2,3)$ y que los coeficientes del parámetro $t$ corresponden a las componentes del vector $(u,v)$ .