Pendiente de una recta

 2do Año, Funciones  No Responses »
nov 072010
 

La pendiente de una recta es una medida que nos da el grado de inclinación de una recta.

¿Cuál será la inclinación de la siguiente recta?

pendiente-recta

Lo primero que tenemos que hacer para establecer una medida de la pendiente, es construir un triángulo rectángulo que tenga la hipotenusa sobre la recta y los catetos que sean horizontales y verticales.

pendiente-1

Como la medida que buscamos tiene que ser independiente del triángulo elegido, vamos a definir a la pendiente como el cociente entre el cateto vertical y el horizontal.

pendiente-2

En nuestro ejemplo BC=2 y AC=2

La pendiente será m=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{2}=1

¿Qué hubiese pasado si elegíamos otro triángulo rectángulo?

pendiente-3

La pendiente con el nuevo triángulo será m=\frac{EF}{DF}=\frac{4}{4}=1

Si la recta es horizontal su pendiente es cero. Es decir, no tiene inclinación con respecto a la horizontal.

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Distancia de un punto a una recta

 Geometría  No Responses »
sep 222010
 

¿Cómo encontrar la distancia de un punto P a una recta r?

Lo primero que debemos hacer es trazar una recta perpendicular a r que pase por P.

Luego marcamos el punto Q, intersección entre la recta r y la perpendicular trazada anteriormente.

Finalmente, trazamos el segmento PQ, la longitud de este segmento nos da la distancia entre la recta r y el punto P.

d(r , P) = d(P , Q) = PQ

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Geogebra: Rectas perpendiculares

 Geogebra  No Responses »
ago 152010
 

ic-rectas-perpend

Para trazar una recta perpendicular con Geogebra tenemos que seleccionar un punto y el objeto al cual la recta será perpendicular, puede ser otra recta, un segmento, una semirrecta, un vector y alguno de los ejes.

El orden de la seleccionar es indistinto.

Ejemplo:

Si seleccionamos el punto C y luego el segmento a, Geogebra traza la recta b que es perpendicular al segmento a.

rectas-perpend-1

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Geometría Analítica: Ejercicios

 6to Año, Geometría Analítica  10 Responses »
sep 112009
 

Rectas en el plano

  1. Encuentren la ecuación de una recta que pasa por el punto (-1,-4) y por el punto de intersección de las rectas:
    -2x+5y-23=0
    y
    x=8-6t   y=1+t
  2. Dado el vector v de origen (2,1) y componentes (2,3). Dibujen 2v, 3v y -v.
    ¿Qué recta definen? ¿Cuál sería su ecuación?
  3. ¿Pertenece el punto P(0,3) a la recta determinanada por el vector v(-5,1) y el punto O(-3,1)?
  4. ¿Pertenece el punto P(0,3) a la recta determinanada por el vector v(-5,1) y el punto O(5,2)?
  5. ¿Cuál es la pendiente y el vector dirección de las siguientes rectas?
    a) y=2x-5
    b) \frac{x-6}{-2}=\frac{y+1}{4}
    c) 2x+3y-2=0
  6. ¿Cuál de las siguientes rectas pasa por el punto (-1,4)?
    a) x+y-3=0
    b) y=4x-1
    c) x+y=3
    d) \frac{x}{-1}+\frac{y}{4}=2
  7. ¿Cuánto vale n en la ecuación ax+by=n, sabiendo que las rectas determinadas por la ecuación pasan por el origen?
  8. Escriban la ecuación paramétrica de la recta 3x+2y-1=0.
  9. Hallen el punto de intersección de las siguientes rectas:
    x=2+t   y=-1+3t
    y
    y=4x-3
  10. Expresen la ecuación de la siguiente recta en la forma vectorial, paramétrica, general y explícita.
    \frac{x-3}{4}=\frac{y+1}{2}
  11. Escriban la ecuación de una recta que pasa por el punto (0,0) y es paralela a la recta:
    a) (x,y)=(2,-3)+t(2,3)
    b) y=-3x-5
  12. Una recta pasa por el origen y por el punto (-5,3), ¿cuál puede ser una de sus ecuaciones vectoriales?
  13. Escriban dos vectores que se encuentren en la recta 3x+2y=0.
  14. Hallen la ecuación de la mediatriz al segmento de extremos A=(-2,5) y B=(2,1).
  15. ¿Cuáles son la ecuaciones explícitas de las rectas bisectrices a los cuadrantes en un plano coordenado?
  16. ¿Qué ángulo forma con el eje positivo de las x, la recta x-2y+1=0?
  17. Un triángulo ABC es equilátero tal que AC=BC=10, el punto A tiene coordenadas (-2,4) y el punto B (3,4), ¿cuáles son las posibles coordenadas de C?
  18. Escriban las ecuaciones generales y vectoriales de los ejes coordenados.
  19. ¿El punto (2,3) es intersección de las rectas x=2 e y=3?
  20. ¿Cuál es la distancia del punto (2,3) a la recta 2x-y+3=0?

Cónicas

  1. Escriban la ecuación de una circunferencia de centro C=(-3,5) y radio r=4.
    a) Represéntenla gráficamente.
    b) Hallen los puntos de intersección con los ejes, analíticamente.
  2. Escriban la ecuación general de la circunferencia de centro C=(1,3) y radio r=2.
  3. Hallen el centro y el radio de la circunferencia:
    x^2+y^2-8x+2y+10=0
  4. Hallen los puntos de intersección de la circunferencia
    x^2+y^2=4
    con la recta
    y+3x-1=0
    Representen gráficamente la circunferencia y la recta.
  5. Hallen la ecuación de la circunferencia de centro (4,-2) que es tangente a la recta y=x+2
  6. Grafiquen y encuentren los elementos principales de la elipse dada por la ecuación
    \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1
  7. Escriban la ecuación de la elipse que tiene focos en (2,0) y (-2,0) y uno de sus vértices en (3,0)?
  8. Encuentren los puntos de intersección entre la elipse
    \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1
    y la recta
    x-y-2=
  9. ¿Cuáles son las coordenadas de los focos en la elipse 3x^2+4y^2=12?
  10. Escriban la ecuación de una elipse que tiene focos en (0,2) y (0,-2) y pasa por el punto (3,2).
  11. Grafiquen y encuentren los elementos de la hipérbola dada por la ecuación:
    \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1
  12. Encuentren la ecuación de la hipérbola del gráfico:
    hiperbola2
  13. Una hipérbola tiene asíntotas cuyas ecuaciones son y=\pm 2x y vértice en el punto (3,0). Encuentren la ecuación y represéntela gráficamente.
  14. Grafiquen la parábola
    a) y^2=2x
    b) x^2=-y
  15. Encuentren foco y directriz en las parábolas del punto anterior.
  16. ¿Cuáles serán las coordenadas de foco y la ecuación de la directriz en la parábola dada por la ecuación y=x^2-1
  17. ¿Qué se obtiene de la intersección de un cono y plano perpendicular el eje del cono?
    cono El cono de la figura tiene ecuación z^2=x^2+y^2 su eje es el eje z, y la recta directriz forma un ángulo de 45° con el eje z. (Creado en Maple 13)
  18. ¿Qué se obtiene de la intersección del cono anterior con un plano que pase por los ejes x y z?
  19. ¿Qué ángulo debe formar un plano con el eje del cono del ejercicio 17 para que la intersección entre el plano y el cono de una parábola? Si ese palno pasa por el vértice del cono, ¿en qué se degenera?
  20. La elipse y la hipérbola tienen dos focos, en la circunferencia los focos coinciden para formar el centro, la parábola tiene un foco.
    Si las cónicas fueran un mismo objeto matemático miradas desde puntos de vistas diferentes, ¿dónde está el segundo foco de la parábola?
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Geometría

 Geometría  No Responses »
jul 152009
 

Se considera a la geometría como el estudio del espacio que nos rodea. El espacio está formado por puntos, los puntos forman los diferentes objetos geométricos, de los cuales estudiamos sus propiedades y características, y las relaciones entre ellos.

Pero es necesario que comencemos a trabajar con ciertos conceptos, que no tendrán definición y algunas relaciones entre ellos que son evidentes, a dichos objetos los llamaremos “conceptos primitivos” y a las relaciones evidentes “axiomas“. Ellos formarán la base de la geometría y servirán para realizar nuevas definiciones y encontrar nuevas relaciones que serán demostradas por medio de teoremas.

 

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